90全国联赛答案.doc

选择题 1．（D） 原式== 2．（D） 如图，由·，有2· ＝· ＝ 即 可得 ∠BAC＝90° 如图,虽然 ·,点在 △外,∠＞90°,∠＜90° 因此∠的度数不确定 3.（C） 记 由 4.（A） 高这35个连续自然数最小的是,最大的是 ∴ 即 ∴ 5.（C） 如图,设,, 在△中,由余弦定理,有 ·BPcosB 在△中,由余弦定理,有 ∴ 而 令 ∴ 6.（D） 若能找到6个整数…使满足 （1）…； （2）≤，≤，≤； ≤，≤； （3）＞． 则以…为边长的六边形，即可符合要求． 事实上，对任选三整数1≤＜＜≤6，必有≤，可见此六边形的任三边不能构成一个三角形． 现取 ，则, 满足全部条件. 故这样的六边形至少存在一个.又由n边形(n≥4)的不稳定性,即知这样的六边形有无穷多个. 7. (A) 由. 所以 0 得, 所以结论(3)与结论(2)都是错误的. 在结论(1)中,若.所以结论(1)也是错误的. 这样,只有结论(4)是正确的. 事实上,由,可得 又因为. 因为为整数,所以=-1, 即,结论(4)正确. 8. (B) 首先,若以Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ分别记,则SⅡ,SⅢ,SⅣ均不大于.又因为, 所以易证:≤(,分别为公共边PR上的高,因若作出△PQR关于PR的对称图形PQ’R，这时Q’，A都在以PR为弦的含∠A的弓形弧上，且因PQ’=Q’R，所以Q’为这弧中点，故可得出h1≤h2）。 从而≤SⅣ≤，这样 =SⅠ+SⅡ+SⅢ+SN≤ 最后，当AB=AC-2，∠A=90°时， S△ABC=2即可以达到最大值2。 二．填空题 62 5 因 123456789=109 所以所求数字等于 （1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）（1+4+9+6+5+6+9+4+1）的结果的个位数字。即5×8+5=45的个位数的数字，故所求数字为5。 8 原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根，由x1+x2=a+8，a为整数，因此，x-a和x-8都是整数。故由原方程知x-a=x-8(=±1) ∴所以a=8 4．400 作AD⊥BC，如图，则BD=DC。 设BD=DC=y，DPi =x, 则 ∴. 第二试 一.证明 如图, 连BD, CE. 因 . . ∴ 又∵ , . 二.解法1 设≤, 若 {x}+{}=α+β=1 ∴是整数。 令 即 解得 当易验证它不满足所设等式。 当≥3时，是满足等式的全体实数。 由于不是完全平方数（事实上，若则但当≥3时， 两个平方数之差不小于5）。 所以x是无理数，即满足题设等式的x，都不是有理数。 解法2 （1）取或 （2）用反证法证明之。 反设满足等式之x为有理数。 首先，若x为整数，则{x}=0，代入等式得{}=1，与0≤{}1矛盾。 其次，若x为非整数的有理数。 令 （其中n，p，q均为整数1. ≤q≤p且（q，p）=1） 则(其中s,r为整数当n≥0时0≤rnp+q当n≤-1时,np+qr≤0) {}= 若x满足等式，即 即 . 从而得 . 即 矛盾. 故满足等式之x都不是有理数. 三.证明 设各行的棋子数分别.且≥≥…≥≥≥…≥. 由题设 ① 选取含棋子数为的这n行,则 ≥, 否则, 若≤, ② 则 中至少有一个不大于1, 由①,②得 ≥, 从而中至少有一个大于1,这与所设矛盾. 选出的这n行已含有不少于2n枚棋子,再选出n列使其包含其余的棋子(不多于n枚),这样选取的n行和n列包含了全部3n枚棋子.