全解举例2.ppt

全解 * ■ 第 * 页 * 第 * 页 ■ 全解举例2 例 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求 当f(t) = 10cost，t≥0；y(0)=2，y’(0)= 0时的全响应； 解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。齐次解为 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 当f(t) = 10cost 时，其特解可设为 yp(t) = Pcost+Qsint 其一、二阶导数分别为： y’(t)= - Psint + Qcost y”(t)= - Pcost - Qsint 代入原式，得 将其代入微分方程得 (-P+5Q+6P) cost+ (-Q-5P+6Q)sint=10cost 于是有： 5P+5Q =10 -5P+5Q =0 所以 P=Q=1 于是特解为 yp(t) = cost+sint= 全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 +1= 0 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 瞬态响应 强迫响应 自由响应 稳态响应 前两项随t的增大而逐渐消失，称为瞬态响应； 后一项随t的增大，呈现等幅振荡，称为稳态响应。 * *