现代信号处理_第七章_多分辨分析2.ppt

BUPT BUPT 杜文涛 杨心武 魏世乐 提纲 7.6.1 基于FIR滤波器组的信号重构 7.6.2 基于FIR滤波器组的正交小波构造 7.6.3 对偶滤波器与对偶小波 7.6.4 完全重构FIR滤波器组的设计 7.6.1.基于FIR滤波器组的信号重构 滤波器 冲激响应 H0 h0(0),h0(1),···,h0(L-1) H1 h1(0),h1(1),···,h1(L-1) 设有一FIR滤波器组 令H0的冲激响应的偶移位形式构成一个正交基，即 滤波器长度L必须为偶数，上式用矩阵符号表示为 令H1具有冲激响应 ，则易证h1(n)的偶移位也构成一正交基 并且h0(n)和h1(n)的偶移位正交： 上述两种正交关系可用矩阵形式分别写作 或 和 用滤波器组H0和H1实现信号的完全重构： 信号分解（称分析节） 一路：低通H0(w)对信号x(n)滤波——下采样——原信号的逼近H0(w)x 二路：高通H1(w)对信号x(n)滤波——下采样——原信号的细节H1(w)x 原信号重构（称综合或重构节） 分别进行上采样——通过滤波器H0*和H1* 整个系统输出： 逼近输出 细节输出 上采样：两个样本值之间插零 下采样：去除奇次编号的样本值 分析滤波器组 综合或重构滤波器组 显然，为实现信号的完全重构，滤波器组必须满足“完全重构条件”： 常把H0成为共轭二次滤波器。 或矩阵形式： 例7.6.1 选择 ，其中 ， ，由于 ，故有 ，又因为 ，所以 及其偶平移构成一正交集。现在，若选择 ，则集合 构成正交基 7.6.2基于FIR滤波器组的正交小波构造 容易验证，下采样后再用H(z)滤波等价于先用H(z2)滤波，然后下采样，如图(a)所示 因此，图(b)中的级联滤波器可以等价于图(c)的形式，等价滤波器的z变换为 其中 假定滤波器H(z)的冲激响应为h(0),h(1),…,h(L-1)。令f (i)(x)是在长度为2-i的间隔内分为不变的函数 并且用迭代方式 求其极限。业已证明，当滤波器满足正则条件式(7.5.20)时， f (i)(x)随 收敛于极限函数 。 下面证明 满足尺度函数的所有要求。 首先，取上式的极限形式，便得到 满足的双尺度方程： 利用 定义带通函数： 并假定 和 相对偶平移是正交的： 利用数学归纳法可以证明 的正交性。由定义式 可知f(0) (x)恰好是在区间[0,1]上的指示函数，这就证明了第0级的正交性，即 ，现假定第i级函数f(i) (x)的正交性 利用这一假设，有 这就证明了第i+1级的正交性。这表明 对所有i均成立，从而当 时，上式的极限形式也成立，即有 类似地，式 容易证明下面的正交性 最后证明不同尺度的 函数是正交的。显然， 同理可证，穿过不同尺度的 与 也正交，其中j≠i和k≠l。综合以上证明， 和 分别具有尺度函数和小波的正交性。 综上所述，利用FIR滤波器组可以构造正交小波，只要FIR滤波器组满足下面的条件即可： 由此易得 和 的值为 和 然而，从信号处理的观点看，满足 的解即共轭二次滤波器H0存在一些严重的缺点： 由式 的解给出的滤波器 不能够同时是FIR(有限冲激响应)和线性相位(即滤波器系数对称，并为实数)的。 由于是二次型方程的解，所以滤波器系数没有简单的表达式。 滤波器的设计是先设计满足上式