一元数微分学.docVIP

PAGE 8 PAGE 21 实验一 一元函数微分学 实验4 导数的应用（基础实验） 实验目的 理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法. 理解曲线 的曲率圆和曲率的概念. 进一步熟悉和掌握用Mathematica作平面图形的方法和技巧. 掌握用 Mathematica求方程的根(包括近似根)和求函数极值(包括近似极值)的方法. 基本命令 1.求多项式方程的近似根的命令Nsolve和Nroots 命令Nsolve的基本格式为 Nsolve[f[x]= =0,x] 执行后得到多项式方程的所有根(包括复根)的近似值. 命令NRoots的基本格式为 NRoots[f[x]= =0,x,n] 它同样给出方程所有根的近似值. 但是二者表示方法不同. 在命令NRoots的后面所添加的选项 n, 要求在求根过程中保持n位有效数字; 没有这个选项时, 默认的有效数字是16位. 2.求一般方程的近似根的命令FindRoot 命令的基本格式为 FindRoot[f[x]= =0,{x,a},选项] 或者 FindRoot[f[x]= =0,{x,a,b},选项] 其中大括号中x是方程中的未知数, 而a和b是求近似根时所需要的初值. 执行后得到方程在初 值a附近, 或者在初值a与b之间的一个根. 方程的右端不必是0, 形如的方程也可以求根. 此外, 这个命令也可以求方程组 的近似根. 此时需要用大括号将多个方程括起来, 同时也要给出各个未知数的初值. 例如, FindRoot[{f[x,y]= =0,g[x,y]= =0},{x,a},{y,b}] 由于这个命令需要初值, 应先作函数的图形, 确定方程有几个根, 以及根的大致位置, 或所 在区间, 以分别输入初值求根. 命令的主要选项有: (1) 最大迭代次数:MaxIterations-n, 默认值是15. (2) 计算中保持的有效数字位数:WorkingPrecision-n, 默认值是16位. 3.求函数极小值的近似值的命令FindMinimum 命令的基本格式为 FindMinimum[f[x],{x,a}, 选项] 执行后得到函数在初值a附近的一个极小值的近似值. 这个命令的选项与FindRoot相同, 只是迭代次数的默认值是30. 如果求函数的极大值的近似值, 可以对函数用这个命令. 不过, 正确的极大值是 所得到的极小值的相反的数. 使用此命令前, 也要先作函数的图形, 以确定极值的个数与初值. 4.作平面图元的命令Graphics 如果要在平面上作点、圆、线段和多边形等图元, 可以直接用命令Graphics, 再用命令Show 在屏幕上显示. 例如, 输入 g1=Graphics[Line[{{1,-1},{6,8}}]] Show[g1,Axes-True] 执行后得到以(1,-1)和(6,8)为端点的直线段. 实际上Show命令中可以添加命令Graphics的所有选项. 如果要作出过已知点的折线, 只要 把这些点的坐标组成的集合放在命令Line[ ]之内即可. 如输入 Show[Graphics[Line[{{0,0},{1,2},{3,-1}}]],Axes-True] 输出为图4.1. 图4.1 实验举例 求函数的单调区间 例4.1 (指导书 例4.1) 求函数的单调区间. 输入 f1[x_]:=x^3-2x+1; Plot[{f1[x],f1 [x]},{x,-4,4},PlotStyle- {GrayLeve1[0.01],Dashing[{0.01}]}] 则输出图4.2. 图4.2 图4.2中的虚线是导函数的图形. 观察函数的增减与导函数的正负之间的关系. 再输入 Solve[f1 [x]==0,x] 则输出 即得到导函数的零点. 用这两个零点, 把导函数的定义域分为三个区间. 因为导函数连 续, 在它的两个零点之间, 导函数保持相同符号. 因此, 只需在每个小区间上取一点计算导数值, 即可判定导数在该区间的正负, 从而得到函数的增减. 输入 f1 [-1] f1 [0] f1 [1] 输出为1,-2,1. 说明导函数在区间上分别取+,-和+. 因此函 数在区间和上单调增加, 在区间上单调减少. 求函数的极值 例4.2 (指导书 例4.2) 求函数的极值. 输入 f2[x_]:=x/(1+x^2); Plot[f2[x],{x,-10,10}] 则输出图4.3. 图4.3 观察它的两个极值. 再输入 Solve[f2 [x]==0,x] 则输出 {{x--1},{x-1}} 即驻点为用二阶导数判定极值, 输入 f2 [-1] f2 [1] 则输出1/2与-1/2. 因此是极小值点, 是极大值点. 为了求出极