中考中的图形折叠问题,很有用!.doc

中考中的图形折叠问题 ? 解决图形折叠问题的关键是掌握折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称，即这两个图形是全等形，有对应角，对应边及直角三角形的出现，给解题提供了条件，这类问题以图形折叠为载体，具有联系实际，内容丰富，解题灵活的特点，可全面考查学生的基础知识和应变能力，在各地中考中常有出现，兹举例如下． ??? 一、求角度 例1? 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE翻折，当点A落在四边形BCED内部变为A′时，则∠A′与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这规律． ?????????? 解：方法1：由折叠知，∠A′=∠A，∵∠ADA′=180°-∠1，∠AEA′=180°-∠2，∴在四边形ADA′E中，2∠A′=360°-（∠ADA′+∠AEA′）=∠1+∠2，∴∠A′=（∠1+∠2），即始终保持不变的数量关系是∠A′=（∠1+∠2）． 方法2： 连接AA′, ∠1=∠DAA′+∠DA′A；∠2=∠EAA′+∠EA′A； ∴∠1+∠2=∠DAA′+∠DA′A+∠EAA′+∠EA′A=∠A′+∠A=2∠A，∠A′=（∠1+∠2）． 例2 ?将一张纸片沿任一方向翻折，得到折痕AB（如图1）；再翻折一次，得到折痕OC（如图2）；翻折使OA与OC重合，得到折痕OD（如图3）；最后翻折使OB与OC重合，得到折痕OE（如图4）．展示恢复成图1形状，则∠DOE的大小是_______度． ??????? （1）?????????????? （2）??????????? （3）??? ???????????（4） 解：如图所示，第二次翻折，折痕OC平分∠AOA′第三次翻折，折痕OD′平分∠COA′，OD平分∠AOC；第四次翻折，折痕OE平分∠BOD′．∴∠DOE=180′-∠AOD-∠BOE=180°-（∠AOC+∠BOC）=90°． ? ? ? ? ? 二、求线段 ?? ?例3 ?将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由． ??? 解：（1）由折叠知，EM=EA，设CD=2a，∴DE=2a-EM，DM=a，在Rt△EDM中，EM2=DE2+DM2， ∴EA2=（2a-EA）2+a2，解得EA=a．∴ED=a．∴DE：DM：EM=a：a：a=3：4：5． （2）△CMG的周长与点M在CD边上的位置无关．由折叠知，EM=EA，∠EMG=∠A=90°，设DM=x，DE=y．∴EM=EA=2a-y．在Rt△EDM中，x2+y2=（2a-y）2．∴y= ，又易证得△EDM∽△MCG．∴ ．∴ ， ∴ = ． ∴△CMG的周长= =4a（定值）． ??? 即△CMG的周长为定值4a，与点M在DC上的位置无关． ?? ?例4 ?已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，AF=，求DE的长（如图左）；（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．（如图右） ??? 解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°．根据题意得：EF=AF=． ∴DF=AD-AF=．在Rt△DEF中，DE= =． （2）设AE与FG交于O，取AD的中点M，连结并延长MO，交BC于N．由轴对称的性质得AO=EO． ∴MN∥DE，MO=DE．∵∠D=90°，AD∥BC， ∴四边形MNCD MN=CD=AB=2．设DE=x，则ON=2-x．∵△AED的外接圆与BC相切，∴ON是△AED的外接圆的半径．∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，∴12+x2=（4-x）2，解得x= ．∴DE= ，OE=2- x= ．由轴对称的性质得AE⊥FG．∴∠FOE=∠D=90°．又∵∠OEF=∠DEA，∴△FEO∽△AED，∴ ．∴把OE= ，DE= ，AD=2代入解得FO= ．易证△FEO≌△GAO，∴FO=GO，∴FG=2FO= ，即折痕FG的长是 ． ??? 三、求面积 例5 ?在矩形纸片ABCD中，AB=3 ，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．（1）求BE、QF的长；（2）求四边形PEFH的面积． ?解：（1）由折叠知，∠Q=∠D=90°，EP=EC，PQ=