332函数的极值与导数(2课时).doc

§3.3.2函数的极值与导数（2课时） 一、教学目标 知识与技能：理解极大值、极小值的概念； 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 掌握求可导函数的极值的步骤； 过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点与难点 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：. 三、教学过程：的 的符号。 二．新课讲授 1、有关概念 (1).极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 (2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 (3).极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间 无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，是极大值点，是极小值点，而 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值 3. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的驻点（一阶导数为0的x的值） (3)检查 f′(x)=0的驻点左右的符号；如果左正右负，那么f(x)在这个驻点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个驻点处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个驻点处无极值 三．典例分析 例1．（课本例4）求的极值 解： 因为，所以。 令，得 下面分两种情况讨论： （1）当0,即，或时；（2）当0,即时. 当x变化时， ，的变化情况如下表： —2 (-2,2) 2 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此，=； =。 函数的图像如图所示。 例2求y=(x2－1)3+1的极值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2, 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 当x变化时，y′，y的变化情况如下表 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 － 0 － 0 + 0 + ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗ ∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0 例3 设，在和处有极值，且=－1,求，，的值，并求出相应的值。 解：，∵是函数的极值点，则－1,1是方程的根，即有?，又，则有，由上述三个方程可知，，，此时，函数的表达式为，∴，令，得，当变化时，，的变化情况表： -1 (-1,1) 1 + 0 － 0 + ↗ 极大值1 ↘ 极小值 －1 ↗ 由上表可知， ， 四、巩固练习： 1．求下列函数的极值. (1) y=x3－27x 解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表. -3 (-3,3) 3 + 0 － 0 + ↗ 极大值54 ↘ 极小值-54 ↗ ∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54. 当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54 五、教学总结：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 六、课后作业：书本P 32 4 . 5 19 x4 x2 x3 x1 x y O