计算方法 第二章(1,2)ppt.ppt

华长生制作 * 南昌航院 数信学院 制作:黄香蕉 第二章 插值法 第二章 插值法 1 引言 2 拉格朗日插值多项式 3 牛顿插值多项式 4 分段低次插值 本章要点 用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值,而数据拟合则是另外一类的函数近 似问题. 本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法:Lagrange插值、分段线性插值、 Newton插值、Hermite插值和三次样条插值 在本章的最后介绍了拟合的最小二乘法 本章作业 本章应用题: Hooker定律 简单函数类型的选定 函数插值的提出源于两个方面 1 引言 1.1、插值问题的提法 （1）用简单函数为离散数组建立连续模型. （2）用简单函数为非有理函数提供好的逼近. 通常选取一组线性无关的简单的已知函数 即函数插值的任务 利用它们生成的线性空间 作为简单函数类. 也就是说，利用形如 在插值问题中，简单函数的类型有不同的选取， 它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、 三角多项式和有理函数等。 最简单最好用的函数类是代数多项式类 谈到n次(代数)多项式，我们指的是形如如下的函数 本章我们仅考虑利用代数多项式作为简单函数类来 近似函数(插值)，相应的插值问题称为多项式插值. 1.2、多项式插值 问题最基本的提法是： 寻求一个次数不超过n的代数多项式 使 ------(1) ------(2) 定义1.1 (2)式为插值条件, ------(2) 整体误差的大小反映了插值函数的好坏 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数 本章讨论的就是代数插值多项式 且满足 --------(2) --------(3) 问题 ------(2) 满足条件 的代数多项式是否唯一呢？ --------(4) 上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式 由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解 定理1. --------(2) --------(3) 则满足插值条件 的插值多项式(满足条件的次数最低≤n的多项式) 存在且唯一. 定理1的证明已提供了一种求插值多项式的方法， 即通过求解线性方程组(4)来确定其系数. 但这种做法的计算工作量大，不便于实际应用。 2.1、插值基函数 首先考虑一个简单的插值问题： 2 Lagrange值插值 即 --------(1) 注 定义2.1 形如 如 注 可以证明定义中的n＋1个多项式是线性无关的. 的n+1个n次插值多项式： 2.2、Lagrange插值多项式 由上面三式,可解出系数 且 它就是我们待求的n次插值多项式. 定理2. 即 证明 定义2.2 * * * * *