数学2011二轮复习专题11 函数与方程思想(教案).doc

2011届高考数学二轮专题十函数与方程思想 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究。 就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系. 函数与方程思想应用的具体体现： (1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例：如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 (3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。 (4) 函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题，例：如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。 (6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 类型一、函数与方程的思想解其相互间性质等问题[来源:学*科*网Z*X*X*K]恰有三个相异实根，求实数m的范围 【分析】方程的根，即函数图象与x轴交点横坐标，由题意函数应与x轴有三个不同产点，因三次曲线连续且光滑，故只需函数极大值与极小值异号即可。 解：令 则 令，得 为使与x轴交于不同的三个点。 只须 即。 【名师点睛】：方程函数互相转化，为得到方程根的情况，用函数图象特点，特别用导数法求得极值点，用限制极值的方法使图象穿x轴三次，问题解决。利用函数图象交点个数及交点位置，使方程满足其根的某限制条件，是最常见的方程与函数统一的思想，借助图象特点，能直观又准确地看到方程根的情况。 2.变换主元，揭示函数关系 【例3】已知，对于值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的范围。 【分析】我们习惯上把x当作自变量，构造函数，于是问题转化为：当时，恒成立，求x范围，但要解决这个问题要用到二次函数以及二次方程的区间根原理。相当复杂。而如果把m看作自变量，x视为参数，原不等式化为，构造函数为m的一次函数，在上恒大于0，这样就非常简单。 解：因为， 所以， 即 原不等式可化为恒成立，又 所以，令为m的一次函数，问题转化为在上恒大于0的问题。 则只需 解得或， 即。 【名师点睛】：注意到本题有两个变量x、m，且x本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看为m的一次函数，大大简化了运算。在多字母的关系式中，应对参数的策略常常是“反客为主、变更主元”，重新构造函数。 3.分析结构、构造函数求解方程 【例4】关于x的方程(x2－1)2－x2－1＋k＝0，给出下列四个命题：　　①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；　　②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；　　③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；　　④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.　　其中假命题的个数是( ).　　. 0　　　　. １　　　　. ２　　　　. ４【分析】本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.. 根据题意可令x2－1＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*)