2.3.2-1二面角的有关概念(用).ppt

* 2.3.2 平面与平面垂直的判定 第一课时 二面角的有关概念 2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？ 公路 问题提出 1.空间两个平面有平行、相交两种位置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识. 知识探究（一）：二面角的有关概念 思考1:直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？ 半平面 半平面 射线 射线 思考2:将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为二面角. 思考3:在平面几何中，我们把角定义为“从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种定义方式，二面角的定义如何？ 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 思考4:一个二面角是由一条直线和两个半平面组成，其中直线l叫做二面角的棱，两个半平面α、β都叫做二面角的面，二面角通常记作“二面角α-l-β”. l α β 棱 面 ? ? l 二面角?－ l－ ? 二面角C－AB－ D A B C D C E F D A B 思考5:如何画出二面角的直观图？ 知识探究（二）：二面角的平面角 思考1:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？ 思考2:我们设想用一个平面角来反映二面角的两个半平面的张角，那么平面角的顶点应选在何处？角的两边在如何分布？ l α β 思考3:在二面角α-l-β的棱上取一点O，过点O分别在二面角的两个面内任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB来刻画二面角的张开程度？ l α β O A B 二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。 α β B 。 O A B1 。 O1 A1 α β B 。 O A 思考4:在上图中如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？ l α β O A B 思考5:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平面角下个定义吗？ 以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. l α β O A B 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度. 思考6:平面角是直角的二面角叫做直二面角. 当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少度？当二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值范围如何？ 注意 二面角的平面角必须满足： 3）角的边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 思考7:如图，过二面角α-l-β一个面内一点A，作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？ A B O l α β 思考8:如图，平面γ垂直于二面角的棱l，分别与面α、β相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？ α β l A O B γ α β 垂直于二面角棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角叫做二面角的平面角。 ? l ? 二面角的平面角的作法： 1、定义法 3、垂面法 2、三垂线定理法 理论迁移 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B大小的正切值. A A1 B C D B1 C1 D1 O A O ? ? l D 例2、已知锐二面角?－ l－ ? ，A为面?内一点，A到? 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 ?－ l－ ? 的大小。 解： 过 A作 AO⊥ ?于O，过 A作 AD⊥ l 于D，连OD 则OD⊥ l ∴AO=2 ，AD=4 ∵ AO为 A到?的距离 ， AD为 A到 l 的距离 ∴∠ADO就是二面角 ?－ l－ ? 的平面角 ∵sin∠ADO= ∴ ∠ADO=60° ∴二面角 ?－ l－ ? 的大小为60 ° 在Rt△ADO中， AO AD 二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小 一“作”二“证”三“计算” 1.如图，在四面体P-ABC中，PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角P-AB-C的正切值。 A P C B 练习 D O A B P C 取AB 的中点为E，连PE，OE ∵O为 AC 中点， ∠AB