数学：勾股定理难题复习必看(人教新课标八年级下).ppt

勾股定理的逆命题 勾股定理的逆命题 如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点， 你能说明∠AFE是直角吗？ * 《勾股定理》难题复习 必看一 汪仁中学 钟学成 勾 股 勾 股 弦 我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理. 辉煌发现 2 1 3 图2-3 （图中每个小方格代表一个单位面积） S1= S2= S3= 32+42= 52 9 16 25 = 32 = 42 = 52 阅读课本 回答问题 S1+S2=S3 1 1 美丽的毕达哥拉斯树 勾股定理（gou-gu theorem) 如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 a2+b2=c2 即 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． a b c 勾 股 弦 在西方又称毕达哥拉斯定理！ c a b c a b c a b c a b ∵ c2= =b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2 ∴a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 c2 该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。 证明1： c a b c a b c a b c a b ∵ (a+b)2 = a2+2ab+b2 = 2ab +c2 ∴a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 (a+b)2 C2 证明2： C2 a b c b a c A B C D E 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”． 证明3： 你能只用这两个直角三角形说明a2+b2=c2吗？ 已知：直角三角形的面积为20cm2，在c的同侧， 分别以a,b,c为直径做三个半圆， 求图中阴影部分的面积 你能画出斜边为 的直角三角形吗？ 3 2 0 1 2 3 4 l A B C 1、在数轴上找到点A,使OA=3; 2、作直线l⊥OA于点A,在l上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点。 ∴点C即为表示 的点 数学海螺图： 利用勾股定理作出长为 的线段. 1 1 印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”， 请用学过的数学知识回答这个问题。 2 X+0.5 X C B A 荷花问题 如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：AB2－AP2=PB×PC。 A B P C 思考题 解： 过A点做AD⊥BC A B P C D 在 Rt△ABD中,根据勾股定理,得: AB2=AD2+BD2 ① 同理: AP2=AD2+DP2 ② 由①-②,得 AB2－AP2=BD2-DP2 =(BD+DP)(BD-DP) =PB(BD+DP) 又 AB=AC, AD⊥BC ∴ BD=CD ∴ AB2－AP2=PB×PC 如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD A B C D 证明： 过A作AE⊥BC于E E ∵AB=AC，∴BE=CE 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) = DE2- BE2 = (DE+BE)·( DE- BE) = (DE+CE)·( DE- BE) =BD·CD 册：2页：15 已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长. D A C B 1 2 提示：作辅助线D