2007-2010年新课标高考数学理科试题分类精编15-椭圆.doc

2007年-2010年新课标高考数学（理科）试题分类精编 第15部分-椭圆 一.选择题 1.(2008年山东理10)设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 解：对于椭圆，曲线为双曲线，， 标准方程为： 二.填空题 1.(2009年江苏13)如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ [解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线的方程为：； 直线的方程为：。二者联立解得：， 则在椭圆上， ，解得： 2.(2009年广东理11)巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ．，，，，则所求椭圆方程为. 3.(2009年上海理9)已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________. 【答案】3【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，为半径作圆，若过作圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ▲ 【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得． 【答案】 三.解答题 1.(2010年陕西理20)（本小题满分13分） 如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2, | A1B1|?= , (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。 解 （1）由知a2+b2=7, ① 由知a=2c, ② 又b2=a2-c2 ③ 由 ①②③解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为。 （2）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)假设使成立的直线l不存在，当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m, 由l与n垂直相交于P点且得]，即m2=k2+1. ∵, 2.（2010年全国理20）（本小题满分12分） 设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。 （1）求的离心率；（2） 设点满足，求的方程 解：（I）由椭圆定义知，又， 得的方程为，其中。 设，，则A、B两点坐标满足方程组 化简的则 因为直线AB斜率为1，所以 得故所以E的离心率 （II）设AB的中点为，由（I）知，。 由，得，即得，从而 故椭圆E的方程为。 3.(2010年天津理20)(本小题满分12分) 已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。 (Ⅰ)求椭圆的方程： (Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4。求的值。 【命题意图】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。 【解析】（1）解：由，得，再由，得 由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1 所以椭圆的方程为 (2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组 由方程组消去Y并整理，得 由得 设线段AB是中点为M，则M的坐标为 以下分两种情况： （1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是 （2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为 令x=0，解得由 整理得 综上。 4.（2010年北京理19）（本小题共14分） 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程； (Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。 设P点坐标为，则，由题意得， 化简得：。即P点轨迹为： （2）因，可得， 又， 若，则有， 即设P点坐标为，则有： 解得：，又因，解得。 故存在点P使得与的面积相等，此时P点坐标为或 5.(2010年福建理17)（本小题满分13分） 已知中心在坐标原点O的椭圆C