中值定理的分析性研究.docVIP

（2016届） 　　毕业论文（设计） 　文献综述 题　　目：　　　 中值定理的分析性质研究　　 学　　院：　　　　数理与信息工程学院　　　　　　 专　　业：　　　　 信息与计算科学　　　　　　　 班　　级：　　　　　 信计122 　　　　　　　　　 学　　号：　　　　 201259295202 　　　　　　 姓　　名：　　　　　 董晨文　　　　　　　　　 指导教师：　　　　　　舒伟仁　　　　　　　　　　 开题日期：　　　　2015年12月23日　　　　　　 一、前言部分 长期以来，线性代数与矩阵理论一直是许多数学分支的基本工具。同时，它们自身也具有丰富的研究课题，相信每一个从事数学甚至其他自然科学的学者都不会怀疑矩阵的重要性。它和微积分可以算是数学的两块基石，大致可以说，整个近代数学的大厦是建立在这两大基石之上的。与微积分不同，矩阵理论在不断地发展，矩阵论不仅在各数学学科，同时也在许多自然科学领域的分析和研究中发挥着重要作用，在系统与控制理论中更是如此。此外，矩阵还是数值计算的基础，在计算机时代，它起着一种不可替代的核心作用。但是，矩阵也不是万能的，目前常用的一般矩阵乘积是基于线性代数变换，它必须要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，受到了矩阵行数和列数的限制。因而，从本质上讲不适合于非线性计算和分析。实际上，标准的线性代数和矩阵分析技术在非线性计算和分析中已显得力不从心,探究矩阵的特殊乘积，是解决多线性及非线性问题的关键，在非线性与多线性计算和分析中有着非常重要的意义和广泛的应用前景。 从线性代数知道，矩阵是是处理1维或2维数组的有力工具，特别是在考虑线性映射或线性函数时，矩阵是处理这些问题的完美手段。当我们考虑2维数组时，用矩阵表示的双线性型或二次型是最有力的工具。但在考虑高维数组时，矩阵形式并不方便，一般多线性映射也很难用矩阵表示，而考虑非线性问题时，多线性映射是很重要的，因为多项式就可以由多线性映射组成。因此这里引入三种矩阵特殊乘积，分别是Kronecker积、Hadamard积，以及矩阵的半张量积，它们都克服了矩阵普通乘积行数和列数的限制，使得多线性映射很容易用矩阵处理，而多线性映射可以逼近一般非线性映射，与目前非线性及多线性计算和分析中常用的其他方法相比，极大地简化了所需的工作。 1、矩阵的Kronecker积是任意两个矩阵之间的乘积运算，最初起源于群论，物理上用来研究粒子理论，现在它已成功地应用到矩阵论的各个领域。它在实、复运算上没有区别，因此以复矩阵进行阐述。它的定义是设，，则称如下的分块矩阵 为与的Kronecker积（克罗内克积），也称为直积或张量积，简称为K积，简记为。即是一个块的分块矩阵，最后是一个矩阵。 由上述定义有 显然，与是同阶矩阵，但一般地，即矩阵的Kronecker积不满足交换律。不过对于单位矩阵，，有 。 2、Hadamard乘法远比矩阵普通乘法简单，其基本概念为：设，用表示和的对应元素相乘而得到的矩阵： 称为和的Hadamard积（阿达马积），也称为Schur积（舒尔积），记为。 Hadamard积的可相乘条件是只要两个矩阵有相同的行数和相同的列数。显然，如此乘积与通常矩阵乘积不同，它是可交换的，即 3、矩阵的半张量积是一种新的矩阵乘法，它将普通矩阵乘法推广到前阵列数与后阵行数不等的情况。它可以定义为：设，且，即是的最小公倍数，定义的半张量积为 我们将上式称为矩阵左半张量积, 通常说矩阵半张量积均指左半张量积。容易看出，上式是普通矩阵乘法的推广，因为当时，它就是普通矩阵乘法。 其实，这种推广可以有很多。如混合半张量积 或 还有一个有几何意义的推广 同时，半张量积是一种能让每个数组变量自动找到它所对应的数据的层次的指针的运算规则，它的一般定义如下： ⑴设是一个维行向量，是一个维列向量，将分割成个等长的块，它们每一个都是维行向量，定义半张量积为 ⑵ 设是一个行向量，是一个列向量，那么，的半张量积为 ⑶ 设，如果的因子或者的因子，利用⑴、⑵两式可定义 通过以上阐述，我们对于Kronecker积、Hadamard积和半张量积三种矩阵特殊乘积有了一定的了解。在论文中我主要就这三个方面进行展开，就它们各自的基本概念、性质、应用等方面的相关知识进行研究、收集、整理和罗列，论述其在多线性和非线性计算和分析中发挥的重要作用。 二、主题部分 在公元前100年出版的《九章算术》一书被用来求解线性方程组，这里使用的方阵实际上就是矩阵。一言以蔽之，矩阵是那样的初等和自然，所以