一“四心”类讨论.docVIP

三角形四心竞赛讲义 TOC \o 1-3 \h \z \u HYPERLINK \l _Toc103994722 一、“四心”分类讨论 PAGEREF _Toc103994722 \h 1 HYPERLINK \l _Toc103994723 1、外心 PAGEREF _Toc103994723 \h 1 HYPERLINK \l _Toc103994724 2、内心 PAGEREF _Toc103994724 \h 2 HYPERLINK \l _Toc103994725 3、垂心 PAGEREF _Toc103994725 \h 3 HYPERLINK \l _Toc103994726 4、重心 PAGEREF _Toc103994726 \h 5 HYPERLINK \l _Toc103994727 5、外心与内心 PAGEREF _Toc103994727 \h 6 HYPERLINK \l _Toc103994728 6、重心与内心 PAGEREF _Toc103994728 \h 6 HYPERLINK \l _Toc103994729 7、外心与垂心 PAGEREF _Toc103994729 \h 7 HYPERLINK \l _Toc103994730 8、外心与重心 PAGEREF _Toc103994730 \h 8 HYPERLINK \l _Toc103994731 9、垂心与内心 PAGEREF _Toc103994731 \h 8 HYPERLINK \l _Toc103994732 10、垂心、重心、外心 PAGEREF _Toc103994732 \h 8 HYPERLINK \l _Toc103994733 旁心 PAGEREF _Toc103994733 \h 9 HYPERLINK \l _Toc103994734 二、“四心”的联想 PAGEREF _Toc103994734 \h 9 HYPERLINK \l _Toc103994735 1、由内心、重心性质产生的联想 PAGEREF _Toc103994735 \h 9 HYPERLINK \l _Toc103994736 2、重心的巧用 PAGEREF _Toc103994736 \h 11 HYPERLINK \l _Toc103994737 3、三角形“四心”与一组面积公式 PAGEREF _Toc103994737 \h 12 HYPERLINK \l _Toc103994738 三角形各心间的联系 PAGEREF _Toc103994738 \h 15 HYPERLINK \l _Toc103994739 与三角形的心有关的几何命题的证明 PAGEREF _Toc103994739 \h 16 三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。 一、“四心”分类讨论 1、外心 三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。△ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质： (1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。 (2)∠A=。 如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。下面我们举例说明。 例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心． 已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′分别是BC，AC，AB边的垂直平分线，求证：XX′，YY′，ZZ′相交于一点(图3－111)． 分析先证XX′，YY′交于一点O，再证O点必在ZZ′上即可． 证因为XX′，YY′分别是△ABC的BC边与AC边的中垂线，所以XX′，YY′必相交于一点，设为O(否则，XX′∥YY′，那么∠C必等于180°，这是不可能的)．因为OB=OC，OC=OA，所以OB=OA，所以O点必在AB的垂直平分线ZZ′上，所以XX′，YY′，ZZ′相交于一点． 说明由于O点与△ABC的三个顶点A，B，C距离相等，所以以O点为圆心，以OA长为半径作圆，此圆必过A，B，C三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O点称为三角形的外心． 例1、如图9-1所示，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外