第9讲：线性方程组的消元解法.doc

课　　题：线性方程组的消元解法 教学目的：掌握线性方程组的定义，矩阵表示式，消元解法 教学重点：高斯消元法 教学时数：二学时 教学设计： I．引入课题 在行列式的学习中，我们学到了克莱姆法则，可以利用行列式来解线性方程组，如 由克莱姆法则，有，， ， 故 。 克莱姆法则可以作为一种解方程组的方法，但计算量比较大，而且只能解方程个数与未知数个数相同的线性方程组，比较有局限性，今天开始，我们来学习普通的方程组的解法，并由此引入向量组的相关问题。 第三章 线性方程组与向量组的线性相关性 II．新课设计 3.1 线性方程组的消元解法 一．线性方程组 形如的方程组，称为线性方程组，若令 ---系数矩阵，---未知数矩阵，--常数矩阵。 则方程组可用矩阵可表示为：---方程组的矩阵表示 增广矩阵： 以后，要求能根据方程组写出增广矩阵，反之，给出增光矩阵，能写出对应的方程组。 （举例说明） 线性方程组的分类 若，则线性方程组为，称为齐次线性方程组 若，则线性方程组为，称为非齐次线性方程组。 对于若只改变，则称为原方程组的到处方程组。 二．线性方程组的消元解法---高斯消元法 例1．解线性方程组（每写一个方程组，同时写出对应的增广矩阵） 解： 通过以上解方程的过程，可以看到方程组为通解方程组，而矩阵是等价的矩阵。消元法的过程可以看做是对增广矩阵施以初等行变换，得到一系列的等价矩阵，虽然这些矩阵形式不同，但它们所对应的方程组为同解方程组，利用这个原理可以解方程组。这就是高斯消元法，其步骤如下: ⑴对增广矩阵施以初等行变换，直到将增广矩阵化为最简行阶梯形矩阵； ⑵根据最终的最简行阶梯形矩阵得到与原方程组的同解方程组，从而解出。 例1．解下列线性方程组 ⑴ ⑵ 此时，最后一行对应的方程为，不管如何取值，都无法使该方程成立，这个方程为矛盾方程。 若将-3改为-35，则最后一行变为，此时不管如何取值，都可以使方程成立，这个方程称为恒等方程。 对应的方程组为 在该方程组中可以自由变化，称为自由未知量。 三．线性方程组解的判定 1．非齐次线性方程组 举例说明有唯一解，无穷多组解，唯一解的情况。 非其次线性方程组有解； 非其次线性方程组无解。 例2． 解： （最简方程组） 结论：自由未知量的个数 2．齐次线性方程组 一定有解（至少为方程组的解） 只有零解，有无穷多组解（有非零解） 例3． 解： 例3．已知，试讨论取何值时，方程组无解？有唯一解？无穷多组解？ 解： 要使方程组无解，需要，从而需要而 要使方程组有唯一解，需要， 要使方程组有无穷多组解，需要， 练习： III．小结 IV．作业 第9讲 1