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ITG模模拟的数值方法 牟宗泽 龙永兴 王爱科 董家齐 （核工业西南物理研究院） 数学模型: 一无界区域上的线性奇异微分方程组(N2)的特征值问题.不失一般性,考虑方程为 (1) 边条件为 (2) 其中 为向量,A为矩阵, , 难点 (用打靶法) 将方程写作标准型 (3) 其分量 (4) 1. 在边界的奇异性. 以四阶RUNGE_KUTTA法为例 无论从左向右,或从右向左积分都会遇到奇异性的困难. 2.特征值的确定 考察二阶方程,以.作初值向右积分要得到 ,从这一方程可数值求得(可任意). 对的情形:从出发,要得到 (5) (5)式有()个方程,如何去确定一个(的()个参数不能都任意)? 3. 数值不稳定性 几类数值不稳定性:固有,局部,寄生,..等等. 例. (6) 问题(6)有解(时) 对取值精确到16位,向前积分,其解在区域的前半部是精确的,其后就迅速隆起().我们取,p精确到7位,计算结果见图. 方程的通解是: 事实上对方程 的Lipschitz条件 ,当不大时,经典方法是满意的.当大时,经典方法不能令人满意.(Stiffness) 这里有三点需要注意的:1.解的模式与积分方向.2.区间长度与对接(多重打靶)3.方法的选取. 有关方法. 奇异性的排除[1] 利用方程有有界解的必要条件得到 这样在奇点方程改为: (7) 基本解矩阵法[2] 对线性微分方程有解 (8) Y满足,其中为单位矩阵.在区间的右端得到 (9) EMBED Equation.3 (()个值)为左边界的省缺值.为的子矩阵.由此要求得到 (10) 由(10)求得.也可考虑在(5)的基础上,增加一个关于的微分方程和规一化条件,然后求解个方程的个解. 为减少固有不稳定性的影响,缩小积分区间的长度,选择打靶方向. 应用(ITG模) ITG模的方程 边条件 方程的系数是等参数的函数,而且函数在是奇异的.其奇性与相应微分的阶次相同之处.令: (11) .于是ITG方程可写成标准的奇异微分方程组的形式(1).其中 (12) 边条件 在点,方程改成 给出的值,从左边出发得到,从右边出发得,再用(8)式使得满足对接条件: 我们得到 (13) (14) (15) (16) 上面的四个方程是关于线性代数方程, 有非零解的条件是相应的行列式为零. (17) 用Newton迭代法求得(17)式的根 为求相应的特征函数,利用(13)-(16) (18) 由(18)式求得边界的待定值.这样再求确定初值问题的微分方的积分,就得到特征函数,模拟结果分析见文[3]（图1，图2）。 Fig.1 Fig.1 Real frequency (solid line) and growth rate (dashed line) vs perpendicular velocity shear for different magnetic shear s=1.1(curve 1) and s=0.9 (curve 2). q=1.5, kqr=0.036, Vi///cs=0.3, sV//=-3, Vi^/cs=0.1, sJ//=0.0, sJ^=0.0, R/Ln=10, R/LTi=10, R/LTe=10, t=1.0, and b=0.005. . Fig.2 Fig.2 Real frequency (solid line) and growth rate (dashed line) vs perpendicular velocity shear for different magnetic shear s=1.1(curve 1) and s=0.9 (curve 2). The other parameters are the same as Fig.1 except that b=0.012. 参考文献 [1].Frank de Hoog and R