一阶微方程习题课.ppt

* 一阶微分方程 习题课 基本概念 一阶方程 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程 7.伯努利方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 欧拉方程 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待定系数法 特征方程法 一、主要内容 1、五种标准类型的一阶微分方程的解法 (1) 可分离变量的微分方程 解法 分离变量法 (2) 齐次型方程 解法 作变量代换 一、主要内容 可化为齐次的方程 解法 化为齐次方程． （其中h和k是待定的常数） (3) 一阶线性微分方程 齐次． 非齐次. 解法 齐次方程的通解为 （使用分离变量法） 非齐次微分方程的通解为 （常数变易法） (4) 伯努利(Bernoulli)方程 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法　 需经过变量代换化为线性微分方程． (5) 全微分方程 形如 其中 注意： 解法 ?应用曲线积分与路径无关. 通解为 ? 用直接凑全微分的方法. 可化为全微分方程 形如 ?公式法: ?观察法: 熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子． 2。 各类方程的内在联系 三种基本类型 变量可分离 一阶线性 全微分方程 其余类型的方程可借助于变量代换或积分因子化成基本类型 三种基本类型代表三种典型解法 分离变量法 常数变易法 全微分法 变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法 微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非全微分方程 非变量可分离 幂级数解法 降阶 作变换 作变换 积分因子 3、一阶方程解题程序 分离变量 Y 解方程 N Y 解方程 N 积分因子 Y N 齐次型 一阶线性 Bernoulli 二、典型例题 例1 求一微分方程使其通解为 解 由 求导得 再求导 再求导 例2 解 原方程可化为 代入原方程得 分离变量 两边积分 所求通解为 例3 解 原式可化为 伯努利方程 原式变为 一阶线性非齐方程 对应齐方通解为 利用常数变易法 代入非齐方程得 原方程的通解为 例4 解 方程为全微分方程. (1) 利用原函数法求解: 故方程的通解为 (2) 利用分项组合法求解: 原方程重新组合为 故方程的通解为 (3) 利用曲线积分求解: 故方程的通解为 *