A—1(3.4)分部积分与特殊类型积分.ppt

§3. 分部积分法 例题讨论 课外作业 §4. 几种特殊类型函数的积分 二、 三角函数有理式的积分 三、 简单无理函数的积分 课外作业 总复习题四 三 2，4，5， 6，8，11， 12，14 补充题 四、 抽象函数的积分 F(x) 是 f (x) 的原函数。 例1： 已知 f (x) 的一个原函数是 解： 例2： 解： - 则 f ( x ) 例3： 解： 原式 = 对不定积分的说明： 1. 初等函数在其定义域上的原函数必存在； 但这些原函数不都是初等函数。 以下初等函数的原函数不是初等函数： 2. 如果 f (x) 的原函数是初等函数，则说 能表示成有限形式，否则说 不能表示成有限形式。 End 习题 4 —4(A) 1(1, 3, 5, 6, 8, 9, 10), 2(2, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16). 习题 4 —4(B) 1(1, 3, 4, 6, 8, 9, 12), 2(1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11), 3 * 设 u (x), v (x) 有连续导数，则 两边取积分： —— 分部积分公式 要求： 如何选择 v ? 例： = ? 一般： (1) v 要容易求出。 (3) v (x) 的 e x ; 次选： sin x , cos x ； 再次之： 首选： x 等幂函数； 不选： ln x . 例1： 例2： 例3： 例4： 再生法 例5： +a 2-a 2 由再生法： 同理： 例6： 由再生法： 例7： 解一： 原式 = 解二： 原式 = x 1 t 例8： 例 8 ： 可见，被积函数是不同类型函数的乘积， 常用分部积分法。 或为单独一个函数时， 习题 4 —3（A） (1, 2, 3, 5, 7, 8, 10 ) 习题 4 —3（B） 1(2, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 13), 2 对有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分，仍有规律可循。 一、有理函数的积分 有理函数：由两个多项式的商所表示的函数。 其中 m, n 都是正整数或零，系数 a i , b j 均为实数， R(x) 为多项式 (又称有理整函数) 有理真分式 有理假分式 =多项式+真分式 性质： 真分式总可分解成若干个最简分式之和 —— 部分分式 之和。 若 Q(x) 能分解成若干个单因式，即 例1： A B 比较系数 ∴求有理函数积分的方法： (1) 把真分式拆成部分分式之和。 (2) 化 假分式 = 多项式 + 真分式 例2 ： +x-x (3)利用恒等变形求某些有理式的不定积分： 例3： + x2 - x2 + x - x + x - x 例4 ： 若令 e x = u , x = ln u , 仍为有理式的积分。 特点： 被积函数的分子的次数比分母低一次， ∴分子 放微分号后 即与分母同次。 (4) 利用被积函数自身特点。 例5： 且 d (x2 + x + 3) = (2x + 1)d x 且 d (x2 + x + 3) = (2x + 1)dx 作分子 = 常数×分母的导数 + 常数 解： 从理论上讲， 任何有理函数的不定积分都存在。 有理函数的不定积分必定是有理函数、对数函数或反正切函数。 即任何有理函数的不定积分仍是初等函数。 三角函数有理式： 指由三角函数和常数经过有限次四则 如： 总可通过适当变换， 化成有理函数的积分。 运算所构成的函数。记成 —— 万能变换 化为 u 的有理函数的积分。 万能变换并不是最简捷的方法，万不得已而用之。 一般，常用三角恒等变形，也可用其它变换。 例1： 例2 ： ( 分子分母同乘 1 - sin x ) 若为 例3 ： 1. 常利用根式代换，令 2. ( l 为 m , n 的最小公倍数 ) 例： 例： 解： = ？ (1- ) + 还可利用恒等变形进行积分： *