高数 第四节 隐函数1.ppt

第四节 一、隐函数的导数 例1. 设 例2. 求由方程 例3. 求椭圆 例4. 求 例5. 求 例6. 求 说明: 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 又如, 例7. 求函数 二、由参数方程确定的函数的导数 例8. 设由方程 例9. 求摆线 例10. 设由方程 内容小结 思考与练习 2. 设 3. 设 备用题 2. 设 若上述参数方程中 例4. 设 * 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 第二章 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 把y看作中间变量 求 解: 方程两边对 x 求导，把ey看作是以y为中间变量的复合函数，得 得 确定y是x的隐函数， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 x = 1 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 1 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的导数 . 解1: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解2: 的导数 . 解1: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解2: 的导数 . 解1: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解2: 1) 对幂指函数 可用对数求导法求导 : 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 两边取对数 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 x 求导 两边取对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导，得 解：两边取对数，得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的导数. 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 处的切线和法线。 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时， 又 此时， 切线方程： 法线方程： 确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 极坐标方程求导 转化 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. 解: 化为参数方程 当 时对应点 斜率 ∴ 切线方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 提示: 分别用对数微分法求 答案: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 ② 当 时, 故由 ① 得 再代入 ② 得 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ① 求其反函数的导数 . 解: 方法1 方法2 等式两边同时对 求导 1. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 求 解： 方程组两边同时对 t 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶可导, 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * *