高数 第一节 空间直角系与空间曲面、空间曲线.ppt

一、空间直角坐标系 在直角坐标系下 例1. 求证以 例2. 在 z 轴上求与两点 提示: 三、曲面方程的概念 定义1. 例3. 求动点到定点 例4. 研究方程 2、旋转曲面 4、二次曲面 （1）. 椭球面 （2）. 抛物面 （3）. 双曲面 (b) 双叶双曲面 （4）. 椭圆锥面 思考与练习 平面的一般方程 设有三元一次方程 特殊情形 平面的点法式方程 例5.求过三点 说明: 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 例6. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 第七章 一、空间直角坐标系 二、空间两点间的距离 三、空间曲面与空间曲线 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直角系与空间曲面、空间曲线 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) zox面 空间直角坐标系的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Ⅰ 向量 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 坐标轴 : 坐标面 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点 与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 即 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 等距 解: 设该点为 解得 故所求点为 及 离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 设动点为 利用 得 (2) 设动点为 利用 得 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 化简得 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 解:设轨迹上的动点为 轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求方程为 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 表示上(下)球面 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 配方得 此方程表示: 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面. 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. ? 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线