高数 第三节 高阶微分方程.ppt

第三节 一、1、 例1. 例1’. 2、 例2. 求解 3、 例3. 求解 二、1.线性齐次方程解的结构 说明: 定义: 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 定理 2. 二、2.线性非齐次方程解的结构 定理 4. 定理 5. 例4. 二阶常系数齐次线性微分方程: 2. 当 3. 当 小结: 推广: 例5. 例9. 例11. 内容小结 内容小结 思考与练习 思考与练习 作业 备用题 特征根: (1) 当 时, 通解为 (2) 当 时, 通解为 (3) 当 时, 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求方程 的通解 . 答案: 通解为 通解为 通解为 第九节 目录 上页 下页 返回 结束 * 三、二阶常系数线性齐次微分方程 一、 型的微分方程 高阶微分方程 二、线性微分方程的解的结构 第六章 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(?? , ?? )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 (证明略) 线性无关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 (自证) 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将 代入方程①左端, 得 ② ① 复习 目录 上页 下页 返回 结束 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 证毕 因而 ② 也是通解 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分别是方程 的特解, 是方程 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解, 则非齐次