泛函分析之B空间上的有界线性算子.doc

Banach空间的有界线性算子 定义： E及E1都是实的线性空间，T:DE→FE1,IF,x,yD,T(x+y)=Tx+Ty,则T是可加的，IF实数αxD,有T(αx)=αTx,则T是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。 T是连续的，则T为连续线性算子。 IF T将D中任一有界集映成有界集，则T是有界的，ELSE，T是无界的 定理： E，E1是实赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的连续可加算子，则T满足齐次性，因此T是连续线性算子。 E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T有界的充要条件是M0,ST,xD,||Tx||≤M||x||。 E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，IF T在某点x0D连续，则T在D连续。 E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T连续的充要条件是T有界。 定义： E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子。ST ||Tx||≤M||x||对xD都成立的整数M的下确界为T的范数，记||T||. 定理： E，E1是赋范线性空间，在B(E,E1)中定义线性运算： (T1+T2)x=T1x+T2x.(αT)x=α(Tx)则B(E,E1)是一赋范线性空间。 定义： 称B(E,E1)为线性算子空间，B(E)称为定义在E上的有界线性算子。 T,TnB(E,E1),IF Lim||Tn-T||=0,则｛Tn｝按算子范数（一致算子拓扑）收敛于T 定理： Tn,TB(E,E1),｛Tn｝按一致算子拓扑收敛于T的充要条件是｛Tn｝在任意有界集上一致收敛于T E1是B空间，则B(E,E1)也是B空间。 定义： T,TnB(E,E1),IFxE,Lim||Tnx-Tx||=0,则｛Tn｝强（强算子拓扑）收敛于T 开映射定理： 有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则F=E1且M00,ST,yE1,xE,Tx=y||x||≤M0||Tx|| 推论： 有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则T将E中任何开集映成E1中的开集。 有界线性算子T将B空间E映入B空间E1,则T的值域或者是E1或者是E1中第一类集。 逆算子定理： 有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,且T是单射，则T存在有界逆算子。 推论： （E,||||1）（E,||||2）为B空间，IF K0,ST,xE,||x||1≤K||x||2,则||||1与||||2等价，所以（E,||||1）（E,||||2）拓扑同构 定理： E,E1是赋范线性空间，T是E的子空间D到E1的线性算子，则T为闭算子充要条件是{xn}D,IF {xn}{Txn}在E，E1中分别收敛于x,y,则xDTx=y 闭图像定理： T是B空间E到B空间E1的闭算子，则T有界。 定义： E为线性空间，p为定义于E的泛函，IF x,yE,p(x+y)≤p(x)+p(y),则p为次可加的，IF α≥0xE,p(αx)=αp(x),则p为正齐次的 共鸣定理： ｛Tα｝为定义于B空间E上值域包含在赋范线性空间E1的有界线性算子族，IF xE,sup{||Tαx||}∞,则{||Tαx||}有界，或者说{Tα}一致有界 定理： {Tn}是B空间E到B空间E1的有界线性算子列，则{Tn}按强算子拓扑收敛于TB(E,E1)的充要条件是{Tn}一致有界E的某稠密子集G，ST,xG,{Tnx}在E1中收敛(当两个条件同时满足时，||T||≤Lim||Tn||)。 E,E1是B空间，则B(E,E1)对于算子列按强算子拓扑收敛是完备的。 定理： G是实线性空间E的子空间，f是定义在G上的实线性泛函，p是定义在E上的次可加正齐次泛函，f与p之间满足f(x)≤p(x)(xG)则，必实线性泛函F0定义在E上，ST： xG时，F0(x)=f(x) xE时，F0(x)≤p(x) 引理： 设f是复赋范线性空间E上的有界线性泛函，令φ(x)=Ref(x)(xE),则φ是E上的实有界线性泛函f(x)=φ(x)-iφ(ix) 定理： G是赋范线性空间E的子空间，f是定义在G上的有界线性泛函，则f可以延拓到整个E，且保持范数不变，即存在定义于E上的有界线性泛函F0,ST: xG时，F0(x)=f(x) ||F0||=||f||G, 推论： G是赋范线性空间E的子空间，x0E,IF ρ(x0,G)=inf||x0-x||=δ0,则E上的有界线性泛函f,ST,||f||=1/δ,f(x0)=1,f(x)=0(xG) G是赋范线性空间E的子空间，x0E,IF ρ(x0,G)=inf||x0-x||=δ0,则E上的有界线性泛函f1,ST,||f1||=1,f1(x0)=δ,f1(x)=