1-4复变.ppt

§4 对换 一、对换的定义 定义： 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换． 例如： 备注 相邻对换是对换的特殊情形． 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现． 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了． m 次相邻对换 m+1次相邻对换 m 次相邻对换 m+1次相邻对换 二、对换与排列奇偶性的关系 定理1：对换改变排列的奇偶性． 证明：先考虑相邻对换的情形． 注意到除 外，其它元素的逆序数不改变． 当 时， ， ， ． 当 时， ， ， ． 因此相邻对换改变排列的奇偶性． 既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么 2m+1次相邻对换 因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变. 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数． 证明：由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此推论成立． 因为数的乘法是可以交换的，所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的，即 每作一次交换，元素的行标所成的排列 与列标所成的排列 都同时作一次对换， 即 与 同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变． 于是 与 同时为奇数或同时为偶数． 即 是偶数． 因为对换改变排列的奇偶性， 是奇数， 也是奇数. 设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为 ． 所以 是偶数， 因此，交换 中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变． 设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此．所以，在一系列对换之后有 定理2：n 阶行列式也可定义为 定理3：n 阶行列式也可定义为 例1：试判断 和 是否都是六阶行列式中的项． 解： 下标的逆序数为 所以 是六阶行列式中的项． 行标和列标的逆序数之和 所以 不是六阶行列式中的项． 例：用行列式的定义计算 解： 1．对换改变排列奇偶性． 2．行列式的三种等价定义 三、小结