不可多项式.pptVIP

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不可多项式

* * * 一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理 因式分解与多项式系数所在数域有关 如: (在有理数域上) 问题的引入 (在实数域上) (在复数域上) 设 ,且 ,若 不能表示成数域 P上两个次数比 低的多项式的 Def. 乘积,则称 为数域P上的不可约多项式. Remark ① 一个多项式是否不可约依赖于系数域. ② 一次多项式总是不可约多项式. 一、不可约多项式 ③ 多项式        不可约 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍. 或 ④ 多项式 不可约,对      有 证:设 则 或 即 或 不可约. ,若 则 或 证:若 结论成立 . 若   不整除 ,则 Th. 5 不可约, 则必有某个   使得 Cor. 若 ,则 可 唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说,若有两个分解式 1. Th. 则 ,且适当排列因式的次序后,有 其中 是一些非零常数. 二、因式分解及唯一性定理 证:对 的次数作数学归纳. 时,结论成立. 下证      的情形. 设对次数低于n的多项式结论成立. (一次多项式都不可约) 若 是不可约多项式. 若 不是不可约多项式,则存在 且    使 结论显然成立. 由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积. 再证唯一性 . ⑴ 可分解为一些不可约多项式的积. 都是不可约 设   有两个分解式 多项式. 对 作归纳法. 若 则必有 假设不可约多项式个数为 时唯一性已证. 由(1)                 不妨设       则 使得 (1)两边消去   由归纳假设有 即得 总可表成 对 其中 为   的首项系数,   为互不相同的, 首项系数为1的不可约多项式,    的标准分解式. 称之为   2. 标准分解式:

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