全澳校际初中数学比赛.DOC

第二屆全澳校際初中數學比賽 (參考解答)日期﹕2001年5月5日: 方程? 有多少個實根? 其中代表 的絕對值. ?答案: 以上方程的實根總數=___________. 解: I. 當時, 原方程化為, , 解得 II. 當時, 原方程化為, , 解得 綜上, 原方程的解為. 故原方程的實根共有4個.改寫成由三個正整數的(正)二次根之(相等)和. : 三個整數(由大至小)分別為_______, ______, ________. : , 所以, 三個整數(由大至小)分別為甲,乙兩隊各出5名隊員按事先排好的順序出場參加象棋擂台賽, 1號隊員比賽, 負者被淘汰, 勝者再與負方2號隊員比賽, ...., 直至有一方隊員全被淘汰為止, 另一方獲得勝利. 各個隊員的勝負排列便形成一種比賽過程. , 問所有可能的比賽過程有多少種? : 共有__________種比賽過程. : 情況相當於右圖, 252種比賽過程. , , 及對於 定義 . 試求最小的正整數使得 . 答案: . : 因為, , , 則 . , 有, . 試找出所有正整數, 使得的和是由同一個數字組成的三位數. : . 解: 設, 這裡為正整數, 且, 則, 即, 左邊是兩個連續自然數的乘積, 故當且僅當時等式成立. 解得. 四個足球隊進行循環比賽(即任意兩隊將要作賽), , 三隊的比賽情況如下: 場數 勝 負 平 入球 失球 A隊 2 0 2 0 3 6 B隊 2 1 0 1 4 3 C隊 3 2 0 1 2 0 D隊(答案): a ?b ?c ?d ?e ?f 問: 請在以上空格填入正確的數字. , 則有, 即, 因此, . 由題設只可取0, 或2(因為. 如果當時, . 隊只比賽1場, 且負於隊, 則至少失1球, 由, 知隊至少有入1球, 即與隊比賽有1入球, 但隊無失球, 矛盾. 故. 所以. 經驗算, 知(負隊1場, 失4球, 入3球; 負隊1場, 失1球; 贏隊1場, 入5球, 失3球). 綜上, . 另解: 如上表, 約定表示隊對隊. 如, 即第一行第四列 “+5,-3”, 表示隊對隊, 入5球, 失3球, 贏隊. 容易判斷和均為零, 隊的2場勝利為分別戰勝隊和隊, 且各入1球, 無失球. 故; . 如果為 “-5,+3”, 則表示隊入5球, 矛盾. 故為 “-5,+3”. 由此得, 為 “+4,-3”. 可填出上表. 觀察第四列, 知隊共賽3場, 贏1場, 輸2場, 和0場, 入8球, 失8球. 已知可以在以下的表中的 21 個空格填入整數, 使得 (橫)行的三個相鄰的數, 最左、最右的兩個數之平均值等於中間的數; (豎)列的三個相鄰的數, 最上、最下的兩個數之平均值等於中間的數. *號的空格的數. 答案: 記有*號的空格的數__________.?? “*”格內的數為, 如下表所示, 聯立陰影的三個方格, 建立方程, 得 , 解得, , 故記有*號的空格的數 將分別寫在的表格內(如下圖), 每格一個數字. 分別將各(橫)行和各(豎)列的四個數加起來, 要求每個和相同. 試寫出各個格子的數字. 解: 計算每行, 每列的和. , 如下圖是其中一種填法. 在三角形ABC中, 已知tan(∠A)=5/12, 及從A到BC的垂足把線段BC分成兩段, 其長度分別為3, 17. 試求三角形ABC的周長. ? ?答案: _____________ (可以用根號表示). 於. 設, 則, 因為共圓, 由圓冪定理得, , 即, 整理得, 解得, ?有 . 所以周長為. 另解: 設, 因為, 有, 解得. 由此得, . 所以周長為 . 問: 在1, 2, 3, ......, 1999, 2000, 2001中最多可以取多少個數使得所取數中任意三個數之和能被21整除? : 最多可以取_________個數. 個數. 要將三個邊長分別為1cm的正方形, 放在一個圓碟內. 要求這三個正方形不能有某部分在碟邊以外, 且不能重疊, 問圓碟的半徑至少是多少?  　　　　 ?答案: 圓碟的半徑至少是__________cm. (可以用根號表示) 四點, 這樣的圓半徑最小. 由圓的性質知圓心在的中垂線上, 設為圓心, 則. 設, 有, 解得, . 故圓碟所需的最小半徑為. 已知下圖的大圓半徑為R, 大圓內的三個小圓兩兩相切, 且與大圓相切, 它們的半徑分別為. 試求. , . 設, 則. , , 因此, , 解得, , 所以, . 第二屆全澳校際初中數學比賽 參考解答 第 1 頁，共 4 頁