高数下11-12复习题.doc

《高等数学》复习题 2012年5月 第一套 1 . ，求和。 2. 设，求和。 3. 设，求二阶偏导数和。 4. 求函数在点处的全微分。 5. 设，其中具有二阶连续偏导数，求和。 6. 求函数的极值。 7. 求曲面在点处的切平面和法线方程。 8. 求函数在点处的梯度和在该点沿方向的方向导数。 9. 计算，其中是由直线、和所围成的区域。 10. 计算，其中是圆域（）在第二象限的部分。 11 计算二重积分。 12 证明：。 13 计算三重积分，其中。 14. 计算曲线积分，其中是抛物线上从点到的一段弧。 15. 计算曲线积分，其中为抛物线。 16. 计算曲面积分，其中为球面 的外侧。 17. 判定级数的敛散性。 18. 判定级数的敛散性（若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？） 19 将函数展开成的幂级数。 20 . 求幂级数的和函数，并求级数的和。 21. 求微分方程的通解。 22. 求微分方程的通解。 23. 求微分方程的通解。 24. 设有微分方程。（1）求对应齐次方程的通解；（2）求原方程的特解；（3）求原方程的通解。 ------------------------------------------------------------------------ 第一套复习题参考答案 1.,。 2. ，。 3. ，。4. 。 5. ，。 6. 极大值。 7.，。 8. ，。9. 。 10. 。11. 。13. 。14. 。15. 。16. 。17. 收敛。18. 条件收敛。19. 。20. （），。 21. 。22. 。23. 。 24.（1）；（2）；（3）。 第二套 1. 设，求和。 2. 设，其中是可导函数，求。 3. 设，求。 4. 设，其中具有二阶连续偏导数，求，和。 5. 设，求和。 6. 设。(1) 求梯度；(2) 求函数在点处沿方向的方向导数。 7. 设有一半径为的球面，求内接于该球面的长方体的长、宽、高，使之有最大体积。 8. 计算二次积分。 9. 交换二次积分的积分次序。 10. 计算二重积分。 11. 将三重积分化为三次积分，其中为三个坐标面和平面所围成的闭区域。 12. 计算三重积分，其中。 13. 计算曲线积分，其中为半圆从点到点的一段弧。 14. 验证曲线积分与路径无关，并计算积分值。 15. 计算曲线积分，其中为。 16. 计算曲面积分，其中是区域 的整个边界曲面的外侧。 17. 判定级数的敛散性。 18. 判定级数的敛散性（若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？） 19. 求幂级数的收敛半径和收敛域。 20. 将函数展开成的幂级数。 21. 微分方程的满足初始条件的特解。 22. 微分方程的通解。 23. 若二阶可导函数满足方程，且，求。 ----------------------------------------------------------------------------------------- 第二套复习题参考答案 1. ，。2. 。4. ，，。 5. ，。 6. (1) ；(2) 。7. 长、宽、高都是时，可得最大体积。8. （提示：交换积分次序）。 9. 。10. 。11. 。 12.。13. (提示：加边用格林公式)。14. 。15.。16. 。17. 收敛。18. 绝对收敛。19 ，。20. （）。21. 。22. 。23. （提示：建立微分方程：）。 第三套 1. 求的偏导数，和。 2. 设，试证：。 3. 设，且为可微函数，求，和。 4. 设，其中为可微函数，求全微分并证明等式：。 5. 设是由方程所确定的隐函数，求和。 6. 求椭圆抛物面在点处的切平面方程。 7. 求抛物线到直线之间的最短距离。 8. 计算二重积分，其中是由曲线、直线、和所围成的区域。 9. 交换二次积分的积分次序。 10. 计算二重积分，其中。 11. 求由以下四张平面所围的四面体的体积：和。 12. 计算三重积分，其中是由圆锥面及平面所围成的闭区域。 13. 计算曲线积分，其中是曲线从到的一段弧。 14. 计算曲线积分，其中为在抛物线上由点到点的一段弧。 15. 计算曲线积分，其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界。 16. 判定级数的敛散性。 17. 讨论级数何时绝对收敛﹑条件收敛和发散。 18. 证明：若绝对收敛，条件收敛，则条件收敛。 19. 求幂级数的收敛半径和收敛域。 20. 求幂级数的和函数。 21. 求微分方程满足条件的特解。 22. 求微分方程的特解。 23. 求微分方程的通解。 24. 设曲线积分在右半平面（）内与路径无关，其中为可导函数，且。 求函数；