2.1.2-2异面直线所成的角(用).ppt

变式:空间四边形ABCD中,E、F分别是BD、AC的中点，若BC=AD=2EF，求直线EF与直线AD所成的角。 课堂练习 如图．长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中： （１）哪些棱所在直线与直线ＡＡ１成异面直线且互相垂直？ （２）已知ＡＢ＝√３，ＡＡ１＝１，求异面直线ＢＡ１与ＣＣ１所成角的度数． （１）讨论两条异面直线所成的角，一般转化为“平面角”来研究，这是“空间问题”化为平面问题“的基本思路． （２）求两条异面直线所成角的方法： 　a.平移相交作出角θ； 　b.构造含θ的三角形； 　c.解三角形． * 第二课时 异面直线所成的角 2.1.2 空间中直线与直线之间的 位置关系 问题提出 1.什么叫异面直线？三线平行公理和等角定理分别是什么？ 2.不同的异面直线有不同的相对位置关系，用什么几何量反映异面直线之间的相对位置关系，是我们需要探讨的问题 . 思考1: 在平面几何中,如何刻画一条直线相对于另一条直线倾斜的程度的？ 　　　　 思考2 :在空间，两异面直线既不平行又不相交，那么它们所成的角又是怎么样的呢？能直接度量吗？你有什么办法解决这个问题？ 知识探究（一）：异面直线所成的角 思考3:若将两异面直线分别平行移动，它们所成的角是否发生变化？ 思考4：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交得到两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐角(或直角)来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之为异面直线所成的角.你能给“异面直线所成的角”下个定义吗？ a b o bˊ a b a α b a o 对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 思考5:若点O的位置不同，则直线a′与b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为了作图方便，点O宜选在何处？ a b a b o a b o O 思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 知识探究（二）：两条直线垂直 思考2:如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b. 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线? B A D C A B D C 思考3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗 ? 思考4：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直,那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？ 理论迁移 例1 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中. （1）图中哪些棱所在的直线与BA1成异面直线 (2)直线A′B和CC′的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ A′ B′ C′ A B C D 例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形? F G D A E B C H ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形 证明： 连结BD 若AC=BD且AC⊥BD呢？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ · Ｆ Ｇ · · A B C D A１ B１ C１ D１ 小结 空间两条直线的位置关系 异面直线所成的角及其求解方法 A F E D C B 如图，在四面体ABCD中，E，F分 别是棱AD，BC上的点,且 已知AB=CD=3， ,求异面直线AB和CD所成的角. M 思考题： 1.直三棱柱ABC－A1B1C1 中角ACB＝900,D1，F1分别是A1B1与A1C1的中点。若BC＝CA＝CC1，求BD1 与AF1这两条异面直线所成的角。 A A1 C B B1 C1 F1 D1 分析：恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。 思路一：取BC中点G， 连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面 直线所成的角；解三 角形AF1G可得。 A B C A1 B1 C1 D1 F1 G B 思路二、延展平面 BAA1B1，使A1E＝D1A1， 则将BD1平移到AE， 角EAF1（或其补角 ） 即为BD1与AF1所成的角。 A A1 C B1 F1 D1 E