41欧氏空间.ppt

第四章 向量空间 * 第4章 矩阵相似对角化 第四章 向量空间 一、向量内积 4.1 欧氏空间Rn ——定义了内积运算的n维实向量空间 二、三维向量长度 ，推广: 为此引入: 1.定义 在Rn中, 设向量 ， ，称 为向量 与 的内积, 记: 或 (加法,数乘,内积三种运算) 第四章 向量空间 2.性质：(1)对称性 且 例2 设 ，求 解 ≥ 0 (2)线性性 (3)正定性 例1 设 ，求 解 =4×2+2×6+(-3)×4+1×3 =11 二、向量长度 1.定义 Rn中向量 的长度定义为 ;也称为向量范数. 长度为1的向量称为单位向量. 例: 2.性质 (1) 且 注: 任一非零向量均可单位化—— 为单位向量. (2) 第四章 向量空间 (3) 即: (柯西－布涅可夫斯基不等式) 且 与 线性相关 证: 1) 与 线性相关 2) 与 线性无关 0 选取适当的k，使该式值为0, 即证得不等式. 第四章 向量空间 (三角不等式) 1.定义 三、向量的夹角与向量正交 夹角 若 ，称向量 与 互相正交 2.性质 (1) 零向量与任何向量正交. (2) 与 正交 且 与 互相正交 证： (勾股定理) (3) 而 与 互相正交 夹角的余弦定义为 Rn中向量 与 P121 例4-1 且 与 线性相关 第四章 向量空间 证：设 为正交向量组 设 (向量零) 两端与 求内积得 线性无关. 四、标准正交基 例:(1,0,0)T, (0,1,0)T, (0,0,1)T 1.定义 Rn中两两正交的不含零向量的向量组称为正交向量组;单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组;一组基中的向量两两正交,称为正交基; 正交基中每个向量都是单位向量,称为标准正交基.标准正交基满足 (i, j＝1,2,…,s) 2.定理 正交向量组线性无关 (数零) 第四章 向量空间 标准正交基即n个向量构成的单位正交向量组 由Rn中任一线性无关向量组 可生成等价的正交向量组 ——施密特正交化方法： 即 3.求法 2)单位化 化Rn的一组基为标准正交基:1)正交化 … (k＝2,3,…,m) 第四章 向量空间 1)易见， 与 等价 (可相互线性表示) 也线性无关. 2)用数学归纳法证 是正交向量组: s=2时, 与 正交 假设s=k－1时成立,即 两两正交,要证 分别与 正交. = 0 证毕. =0 s＝k时也成立,只要证 (j=1,2,…,k-1) 第四章 向量空间 例3: 设 为R3的一组基，将其化为标准正交基. 解 (1)正交化: 为与 的正交向量组. 等价 第四章 向量空间 (2)标准化(单位化): 为R3的标准正交基. 第四章 向量空间 例4 设 (可验证其为正交向量组) 将其扩充为R4的一组基? 与 均正交 －正交基 标准正交基 单位化 (能否构成R4的一组基?) 正交基? 线性无关，试将 正交化 第四章 向量空间 例5 求齐次线性方程组解空间的一个标准正交基 x3＝ 2x4 x1＝x2＋x4 ∴ r(A) 4, 必有非零解! 令 分别为 得 2)单位化. 1)正交化 得 见P127 标准正交基 第四章 向量空间 五、正交矩阵 1. 定义 QTQ＝E, 称Q为正交矩阵. 2. 性质 设P、Q为正交矩阵，则 (1) 或 从而有：Q为正交阵 (3)Q－1=QT及PQ为正交矩阵 例: 单位矩阵E, 均为正交矩阵. (QT)TQT= QQT =E (PQ)TPQ= QTPTPQ= QTQ =E QTQ=PTP=E