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Chapter 5 定积分计算 Abstracts:留数定理及其应用——定积分、积分主值 留数定理和留数的求法(Residue theorem and methods of finding residues) 留数的定义：设是解析函数的孤立奇点，则在的留数定义为，其中为绕的闭曲线且内部无其它奇点（积分沿正方向进行），记号为或. （1）有限远孤立奇点的留数：在邻域内（不含其它奇点）的罗朗级数（Laurent series）展开的 次幂项的系数称为在奇点的留数。即. 此定义基于如下的事实： ，其中 . 令函数沿以孤立奇点为中心的一个圆周积分 ， 而 所以 . 可见，级数中仅仅项对积分有贡献，积分后唯有这个系数留下来，故名之为留数(residue). （2）无穷远点的留数：在以为中心，环内（不含其它奇点）的罗朗级数展开的次幂项的系数的反号称为在点的留数。即 . 这是因为：对于无穷远点，以为展开中心，在区域里将展开的罗朗级数与以为中心、在区域展开的罗朗级数有相同的形式: . 同时注意到，对无穷远点的邻域来讲,的正方向为顺时针方向。因此， 如果在区域D中有个孤立奇点，而除了这些奇点外，是解析的，那么 其中分别为围绕奇点的小圆周，再根据复连通域的柯西定理（Cauchy’s theorem），可以得到 , 是区域D的外境界线，也可以是境界线之内的任一条闭合曲线，只要它包围所有奇点并且沿确定方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。 留数定理：如果函数在闭曲线所围的区域内，除具有有限个孤立奇点(isolated singularities)外是解析的，在上也是解析的，则沿的回路积分（逆时针方向）等于在内所有奇点的留数之和的倍，即 留数定理的推论：若在闭复平面内(包括无穷远点)除有限个孤立奇点(包括无穷远点)外处处解析，则在全平面上全部奇点的留数之和为零，即 说明： * 留数定理表明了解析函数沿闭曲线积分与它的孤立奇点之间的联系，体现了解析点与奇点的内在联系。这是解析函数在不同点取值之间的相互关联这个性质的又一表现，即它是单(复)通域Cauchy定理的推广(变形)。 ** Laurent series的负幂次由有限内环的奇异性引起，其方向为； Laurent series的正幂次由有限内环以外(即外环以外直接至)的奇异性引起，其方向为. *** 可以是奇点亦可以不是奇点，只要存在即可。 留数的求法（Methods of finding residues） (定义是定义，定理是定理，计算留数是另一回事)。 罗朗级数法: 对于本性奇点，例如中含指数函数、三角函数 （）等，并且极点是高阶的，此法往往比较简单。 可去奇点：若是的可去奇点(),有限, 则 注意：即使点是的可去奇点，其留数也不一定为，除非在一切有限远点的留数之和为. 例如，, , . 高阶极点（Multiple pole）：若是的m阶极点，即， 则 . [证明]:如果是的阶极点，则在这点的邻域内罗朗级数是 , 取极限后右端只留下项，即. 所以 . (4) 单极点（Simple pole）: 当时，为单极点，. 特别地，如果可以写成的形式，其中和均在点解析，而且为的一阶零点，即，，那么 . （5）根据定义：，其中为绕一圈的闭曲线且其内部无其它奇点，积分沿正方向进行。 5. 例题（Examples） Example 1. 求函数在，，点的留数。 [解] 分别是本性奇点，一阶奇点和一阶零点。 法一（Expand to the Laurent series）： 是的本性奇点，因此，将在的邻域作罗朗级数展开 . 将在的邻域作罗朗级数展开 . 并且 法二（Formula）： 是的一阶极点，因此 （全复平面留数之和为零）。 Example 2. 求函数在点的留数。 [解一] [解二] 是的五阶极点，因此 Example 3. 求函数在点的留数。 [解]是的三阶极点，因此 Example 4. 求函数的留数。 [解]是的三阶极点，是本性奇点，因此 Example5. 求函数在(为整数)的留数。 [解一]是的单极点，因此 [解二] Example 6. Find the residue of at . [解一]是的单极点，因此 [解二] Example 7. 求函数(实常数)的留数。 [解]是的一阶极点，是本性奇点，因此 Example 8. 求函数()的留数。 [解]是的一阶极点，是二阶极点，解析，因此 是在附近Taylor展式中的一次项的系数 二、留数定理在定积分计算中的应用 (Residue theorem’s application to