高等数学 第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性.doc

第十节 连续函数的运算与性质 内容分布图示 ★ 连续函数的运算 ★ 反函数的连续性 ★ 复合函数的连续性 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 初等函数的连续性 ★ 例5 ★ 例6 ★ 幂指函数（例7） ★ 最大值和最小值定理 ★ 介值定理 ★例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 一致连续的概念 ★ 例12 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1- 10 ★ 返回 内容要点： 一、连续函数的算术运算 定理1 若函数在点处连续, 则 在点处也连续. 二、 反函数与复合函数的连续性 定理2 若函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数也在对应的区间 ,上单调增加（或单调减少）且连续. 定理3 若, 函数在点a出连续, 则有 . (10.1) 定理4 设函数在点连续, 且, 而函数在点连续, 则复合函数在点也连续. 三、初等函数的连续性： 定理5 基本初等函数在其定义域内是连续的. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 注：定理6的结论非常重要，因为微积分的研究对象主要是连续或分段连续的函数. 而一般应用中所遇到的函数基本上是初等函数，其连续性的条件总是满足的. 从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景. 四、闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理 有界性定理 零点定理 介值定理 五、一致连续性的概念：一致连续性定理 注: 一致连续性表明: 不论在区间I上的任何部分, 只要自变量的两个数值接近到一定的程度, 就可使对应的函数值达到所指定的接近程度. 例题选讲： 反函数与复合函数的连续性 例1 (讲义例1) 求 . 例2 (讲义例2) 求 . 例3 求 例4 (讲义例3) 求 . 初等函数的连续性 例5 (讲义例4) 求 . 例6 求 例7 (讲义例5) 求 . 闭区间上连续函数的性质 例8 (讲义例6) 证明方程在区间(0, 1)内至少有一个根. 例9 (讲义例7) 设函数在区间[a, b]上连续, 且 证明: 存在, 使得 例10 证明方程 有分别包含于(1, 2), (2, 3) 内的两个实根. 例11设 在 上连续, 且 证明: 在上至少有一点, 使 一致连续性 例12 (讲义例8) 证明函数在内是一致连续的. 例13 (讲义例9) 试说明函数在区间上是连续的,但不是一致连续的. 课堂练习 设, 试研究复合函数与的连续性. 2. 估计方程的根的位置.