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高三能力提升题每日一练
高三能力提升题一(每日一题)
1、已知中,且()2=·+·+·判断的形状并求的取值范围;
不等式,对任意的都成立求的取值范围.∵()2=·+·+· ()2=·(+)+·即()2=·+··=0△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形
∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin(A+),A∈(0,) ∴sinA+sinB的取值范围.
(Ⅱ)在直角△ABC中, a=csinA,b=ccosA若a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)kabc,对任意的a、b、c都成立,
≥k,对任意的a、b、c都成立∵
=[c2sin2A(ccosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]
=[ sin2AcosA+cos2A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+
令t=sinA+cosA,t∈,设f(t)==t+=t+=t-1++1f(t)=t-1++1当t-1∈时 f(t)为单调递减函数,∴当t=时取得最小值,最小值为2+3,k≤2+3
∴k的取值范围为(-∞,2+3.对任何,都有.
(1)若,且,数列满足,问数列能否构成等差数列,若能,请求出满足条件的所有等差数列;若不能,请说明理由;
(2)求的最大值.
解:(1)设,
则,
,
又,
,若数列构成等差数列,可设为常数,
因为,所以,
解得:,
所以数列能构成等差数列:①0,0,0,……;②……;③……
(2)因为,所以
,
……(*)
若,则,即
(*)式=
,若,同上可得(*)式.
令,此时函数满足条件,即时,,且.∴的最大值是3.
高三能力提升题三(每日一题)
已知函数当时,的值域为,当时,的值域为……当时,的值域为,其中a,b为常数,.
()与的通项;
()且,若数列是公比不为1的等比数列,求b的值;
(),设与的前n项和分别记为与,求的值.
(I)解:函数在R上是增函数,
数列与都是公差为b的等差数列.
(II)解:;由是等比数列,
知应为常数. 又是公比不为1的等比数列,则不是常数,必有
(III)解:两式相减,
得
.
高三能力提升题四(每日一题)
已知函数的图像过点,对任意实数都成立,函数与的图像关于原点对称。
(Ⅰ)求与的解析式;
(Ⅱ)若—在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围;
解:⑴由题意知:,
设函数图象上的任意一点关于原点的对称点为P(x,y),
则,
因为点
⑵
连续,恒成立
即,
由上为减函数,
当时取最小值0,
故
另解:,
,解得
高三能力提升题五(每日一题)
已知椭圆C:,过点P作椭圆C的两条切线PM、PN,切点分别为M、N,为等边三角形,
(1)求椭圆C的离心率;
(2)过椭圆C的左焦点F斜率为1的直线与椭圆C交于A、B两点,D为椭圆上任意一点,求证:存在,使得成立。
解:(1)由题设,不妨设PM的方程为,代入得
由得(5分)
(2)由(1)得 ①设都在椭圆上
由条件知不共线,存在,使得
代入①得
·设方程为代入①得
存在,使得,使成立。
的首项为1,公比为2的等比数列,数列满足:
表示数列的前n项和.
(Ⅰ)当k=2时,求S30;
(Ⅱ)当S30取得最小值时,求k的值.
解:(Ⅰ)
当k=2时,
则
(Ⅱ)
………12分
当且仅当时,等号成立。
∴当S30取得最小值时,k=15。
高三能力提升题七(每日一题)
已知在上有定义,,且满足当时,
有,数列中有,.
⑴ 证明:在上为奇函数;
⑵ 求的表达式;
⑶ 是否存在自然数,使得对于任意,有成立?若存在,求出的最小值.
⑴ 证明:当时,;
令,得,即
∴对任意的,有.
故在为奇函数.
⑵ 解:∵满足
∴ ∴.
又在为奇函数∴
由,,有,从而
⑶ 解:
假设存在自然数,使得对于任意的,
有成立,
即恒成立
∴,解得
∴. 存在自然数,使得对于任意,
有成立.此时,的最小值为16.
高三能力提升题八(每日一题)
设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合:①
②M是与n无关的常数.
(1)若{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,a3=4,S3=18,证明:{Sn}∈W
(2)设数列{bn}的通项为,求M的取值范围;
(3)设数列{cn}的各项均为正整数,且
(1)解:设等差数列{an}的公差是d,则a1+2d=4,3a1+3d=18,
解得a1=8,d=-2,
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