第三章 第三节 等比数列.ppt

∴ 解得 当a3＝8，a5＝2时，q2 ＝ ∵q0，∴q＝ ， 由a3＝a1q2＝8，得a1＝32， ∴an＝32×( )n－1＝26－n， Sn＝ ＝64－26－n. 当a3＝2，a5＝8时，q2＝ ＝4，且q0，∴q＝2. 当a3＝a1q2，得a1＝ ∴an＝ ×2n－1＝2n－2， Sn＝ ＝2n－1－ . 2．在等比数列{an}中，a3＝2，a2＋a4＝ (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的公比大于1，且bn＝log3 ，求数列{bn} 的前n项和Sn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0， a2＝ a4＝a3q＝2q， 所以 ＋2q＝ ，解得q1＝ ，q2＝3， 当q1＝ ，a1＝18. 所以an＝18×( )n－1＝ ＝2×33－n. 当q＝3时，a1＝ ， 所以an＝ ×3n－1＝2×3n－3. (2)由(1)及数列{an}公比大于1， 得q＝3，an＝2×3n－3， bn＝log3 ＝log33n－3＝n－3， bn－bn－1＝1(常数)，b1＝－2. 所以数列{bn}为首项为－2，公差为1的等差数列， Sn＝ 1.等比数列的单调性 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}为递增数列. (2)当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}为递减数列. (3)当q＝1时，数列{an}是(非零)常数列. (4)当q＜0时，数列{an}是摆动数列. 2.等比数列的性质 (1)等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1可推广为an＝amqn－ m (n，m∈N*，且n≥m). (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq. (3)当{an}是有穷等比数列时，与首末两项等距离的两项之 积都相等，都等于首末两项之积. (4)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n满足关系式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，但Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定成等比数列. (5)若等比数列{an}的项数为2n，则 其中S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和. 在等比数列{an}中，完成下列各题： (1)an＞0且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值； (2)若a9＋a10＝a，a19＋a20＝b(a，b≠0)，求a99＋a100的值． (1)把等式转化为a3与a5的关系． (2)用到a9＋a10，a19＋a20，…，仍然成等比数列． 【解】　(1)∵数列{an}为等比数列， ∴a2a4＝ ，a4a6＝ ∴原方程可化为 ＋2a3a5＋ ＝(a3＋a5)2＝25， 又∵an0，∴a3＋a5＝5. (2)由数列{an}为等比数列， ∴a9＋a10，a19＋a20，a29＋a30…成等比数列，其中首项a9＋a10＝a，公比q＝ ∴a99＋a100＝(a9＋a10)×q10－1＝ 3.(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数 列，且b7＝a7，求b5＋b9的值. (2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求 a41a42a43a44. 解：(1)∵a3a11＝ ＝4a7， ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4， ∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8. (2)法一：a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝ ① a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15 ② 又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43 ＝1·210＝1024. 法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，