高中数学北师大版修1-2练习：第三章 推理与证明 1.2 Word版含解析.docxVIP

1.2　类比推理 明目标、知重点　1.通过具体实例理解类比推理的意义.2.会用类比推理对具体问题作出判断． 1．类比推理 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理． 类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式． 合情推理的结果不一定正确． 探究点一　平面图形与立体图形间的类比 阅读下面的推理，回答后面提出的问题： 1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征： (1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星； (2)有大气层，在一年中也有季节变更； (3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在． 2．根据等式的性质猜想不等式的性质． 等式的性质：　　　　　　　　猜想不等式的性质： (1)a＝b?a＋c＝b＋c; (1)ab?a＋cb＋c； (2)a＝b?ac＝bc; (2)ab?acbc； (3)a＝b?a2＝b2等等. (3)ab?a2b2等等． 思考1　这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？ 答　类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 思考2　猜想正确吗？ 答　不一定正确． 思考3　类比圆的特征，填写下表中球的有关特征. 圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长球的表面积圆的面积球的体积圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2??r2以点P(x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2 例1　如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若eq \f(a1,1)＝eq \f(a2,2)＝eq \f(a3,3)＝eq \f(a4,4)＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq \f(2S,k)，类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，若eq \f(S1,1)＝eq \f(S2,2)＝eq \f(S3,3)＝eq \f(S4,4)＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？ 解　对平面凸四边形： S＝eq \f(1,2)a1h1＋eq \f(1,2)a2h2＋eq \f(1,2)a3h3＋eq \f(1,2)a4h4 ＝eq \f(1,2)(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4) ＝eq \f(k,2)(h1＋2h2＋3h3＋4h4)， 所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq \f(2S,k)； 类比在三棱锥中， V＝eq \f(1,3)S1H1＋eq \f(1,3)S2H2＋eq \f(1,3)S3H3＋eq \f(1,3)S4H4 ＝eq \f(1,3)(KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4) ＝eq \f(K,3)(H1＋2H2＋3H3＋4H4)． 故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝eq \f(3V,K). 反思与感悟　解决此类问题注意用类比推理的方法去分析问题，研究当条件变化时，问题的本质有哪些不同，有哪些变化，如本题中平面图形中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的距离，平面图形中的面积类比三棱锥中的体积，进而计算出结果． 跟踪训练1　在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是________________________________________________． 答案　设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则Seq \o\al(2,△ABC)＋Seq \o\al(2,△ACD)＋Seq \o\al(2,△ADB)＝Seq \o\al(2