常系数线性常_微分方程.ppt

思考与练习 时可设特解为 时可设特解为 提示: 1 . (填空) 设 * 2. 求微分方程 的通解 (其中 为实数 ) . 解: 特征方程 特征根: 对应齐次方程通解: 时, 代入原方程得 故原方程通解为 时, 代入原方程得 故原方程通解为 * 3. 已知二阶常微分方程 有特解 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为 * 振动问题 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. * 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程: 阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 则得强迫振动方程: * 例2. 解: 由例1 知, 位移满足 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 初始 求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 取其平衡位置为原点建 因此定解问题为 自由振动方程 , * 方程: 特征方程: 特征根: 利用初始条件得: 故所求特解: 方程通解: 1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) * 解的特征: 简谐振动 A: 振幅, ? : 初相, 周期: 固有频率 (仅由系统特性确定) * 方程: 特征方程: 特征根: 小阻尼: n k 这时需分如下三种情况进行讨论: 2) 有阻尼自由振动情况 大阻尼: n k 临界阻尼: n = k 解的特征 解的特征 解的特征 * ( n k ) 小阻尼自由振动解的特征 : 由初始条件确定任意常数后变形 运动周期: 振幅: 衰减很快, 随时间 t 的增大物体趋于平衡位置. * ( n k ) 大阻尼解的特征: 1) 无振荡现象; 此图参数: 2) 对任何初始条件 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. * ( n = k ) 临界阻尼解的特征 : 任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 2) 无振荡现象 ; * 例3. 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p ≠ k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式: 因此原方程④之解为 例1 中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 代入④可得: ④ * 当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时, 自由振动 强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式: 代入④可得: 方程④的解为 * 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅 这时产生共振现象 . 可无限增大, 若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; p = k . 自由振动 强迫振动 对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏, 电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有 利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. * 求电容器两两极板间电压 例4. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 所满足的微分方程 . 提示: 设电路中电流为 i(t), ～ ~ ‖ 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 由电学知 根据回路电压定律: 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 极板 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 * 串联电路的振荡方程: 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 ~ ‖ 化为关于 的方程: 故有 * 运行时, 点击按钮“推广”, 可显示高阶常系数线性微分方程解的结构. 常系数高阶 线性微分方程 一. 常系数线性齐次微分方程 二. 常系数线性非齐次微分方程 第六章 * 常系数 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第六章 * 二阶常系数齐次线性微分方程: 和它的导数只差常数因子, 代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. * 2. 当 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入