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利用递推关系式求数列的通项公式 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 ◆一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式： 1、1,3,7,15,31,……… 2、2,6,12,20,30,……… 3、……… 4、1,-1,1,-1……… 5、1、0、1、0……… ◆二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列的前项和满足，求数列的通项公式. ②已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。 ◆三、归纳猜想法 如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。 例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，… 写出与之间的关系式（）。 设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。 ◆四、累加（乘）法 对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。 例4. 若在数列中，，，求通项。 变式1：已知数列满足，求数列的通项公式。 变式2.已知数列中, 且,求数列的通项公式. 例5.在数列中，，（），求通项。 变式3：设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________. ◆五、取倒（对）数法 a、这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解 b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出 c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。 例6.．设数列满足求 例7 、 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式. ◆六、迭代法 迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算. 例、设a 0为常数，且a n＝3 n -1－2 a n -1（n为正整数）证明对任意n≥1 ， ????? a n＝ [ 3 n＋（－1）n -1·?2 n ]＋（－1）n · 2 n a 0 ?中，，求数列的通项公式。 例10．已知数列满足，求数列的通项公式。 例11 已知数列满足，求数列的通项公式。 例12. 在数列中，,求通项.（待定系数法） ◆八：特征根法。 1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即. 2.对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 例13：已知数列满足，求数列的通项公式。 ◆九：不动点法，形如 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。 例14．设数列满足,求数列的通项公式. ◆十：逐项相减法：递推公式中既有，又有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。 例15 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。 ◆十一。双数列 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例16. 已知数列中，；数列中，。当时， ,，求,. ◆十二、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。 例17：若数列满足，若，则的值为___________。 变式:（2005，湖南,文，5） 已知数列满足，则= （ ） A．0 B． C． D． 变式.在数列中， 2013年秋季高二A数学（131004）第四讲课后作业 本试卷共18题，时间60分钟，满分100分） 班级： 　　　　　　　姓名： 　　　　 一．填空选择题（每题10分） 1.已知数列的首项为1，且那么数列的通项公式为　　　　　　　. 2.已知数列满足，，那么此数列的通项公式为　　　　　　　　． ３.已知,那么数列的通项公式为　　　　　　　. ４．已知数列中，那么数列的通项公式为　　　　　　　　　　　。 5.数列中，若,且满足,求. ６. 数列中，，（n≥2），那么数列的通项公式为　　　　　　　　　　　。 ７.已知数列满足，则=（