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函数、极限和连续 §1.1 函数 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y) y=f-1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单调增加( )； 若f(x1)≥f(x2), 则称f(x)在D内单调减少( )； 若f(x1)＜f(x2), 则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=xn , (n为实数) 3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。 例题分析 求下列函数的定义域： ⑴ 解:对于有: ≠0 解得: ≠±1 对于有: ≥0 ≥－2 ∴ 的定义域: ⑵ 解: 由得： ，解得: 由 得： ＞0 ， ＜2 ∴ 的定义域: 例2.设f(x)的定义域为（-1，1） 则f(x+1) 的定义域为 A.(-2,0), B.(-1,1), C.(0,2), D.[0,2] [ ] 解：∵-1＜x+1＜1 ∴ -2＜x＜0 即f(x+1) 的定义域为: x∈(-2,0) 应选A. 例3.下列f(x)与g(x)是相同函数的为 A. , B. ， C. ， D. ， [ ] 解：A. ， B. ， 应选B C. ， D. ， 例4.求， 的反函数及其定义域。 解：∵， ∴， ∵在(-3,+∞)内，函数是严格单调的 ∴反函数： 例5.设 则其反函数 。 解：∵ 在内是严格单调增加的 ∴ 又∵ ∴取 即： （应填） 例6.设函数和是定义在 同一区间上的两个偶函数， 则为 函数。 解：设 ∵ = ∴是偶函数 （应填“偶”） 例7. 判断的奇偶性。 解: ∵ ∴为奇函数 例8.设 ， 则的周期为 。 解法一: 设的周期为T, = ∴ 而 ∴ ， ∴ 解法二：∵ ∴ (应填) 例9. 指出函数那是由些简 单函数复合而成的？ 解：令 ， 则 ， 则 ， 则 ∴是由：，，， 复合而成的。 例10. 已知,则等于 A. , B. , C. , D. [ ] 解: ∵ ∴ 或 （应选A） 例11. 已知 求的表达式。 解:∵ 解得 ∴ §1.2 极 限 主要内容 ㈠极限的概念 数列的极限: 称数列以常数A为极限; 或称数列收敛于A. 定理: 若的极限存在必定有界. 2.函数的极限： ⑴当时，的极限： ⑵当时，的极限： 左极限： 右极限： ⑶函数极限存的充要条