数列的极限知识点 方法技巧 例题附答案与作业题.docVIP

数列的极限 一、知识要点 1数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列以为极限记作．（注：a不一定是｛an｝中的项） 2几个重要极限： （1） （2）（C是常数） （3） （4） 3. 数列极限的运算法则: 如果那么 　　 　　 4．无穷等比数列的各项和 ⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做 ⑵ 二、方法与技巧 ⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限. ⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为或型的极限. ⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以或. ②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限. ⑤∞－∞,,0－0,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限 题型讲解 例1 求下列式子的极限： ①； ②； ③； ④; （2） （－n）;（3）（++…+） 例2 的（ ） A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 例3 数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且=3,求的值为 求 （a0); 已知,求实数a,b的值; 已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有（－qn）=,求a1的取值范围 例7 已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数． （1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn； （2）求的值． 数列极限课后检测 1下列极限正确的个数是（ ） ①=0（α＞0） ②qn=0 ③=－1 ④C=C（C为常数） A2 B3 C4 D都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ） A若an2＝A2，则an＝A B若an＞0，an＝A，则A＞0 C若an＝A，则an2＝A2 D若（an－b）＝0，则an＝bn 5若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则 （a1+a2+…+an）等于（ ） A B C D 6数列{an}中,的极限存在，a1=,an+an+1=,n∈N*,则（a1+a2+…+an）等于（ ） A B C D 7．=__________ =____________ ［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］= 8已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则的值是（ ） 9 {an}中a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x－y－=0上，则=_____________ 10等比数列{an}公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,则a1=_____________ 11已知数列｛an｝满足（n－1）an+1=（n+1）（an－1）且a2=6,设bn=an+n（n∈N*） （1）求{bn}的通项公式；（2）求（+++…+）的值 12已知{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且 =, 求极限 （++…+）的值 例题解析答案 例1 分析：①的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0； ②的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； ③的分子次数小于于分母次数，极限为0 解：①； ②； ③ 点评：分子次数高于分母次数，极限不存在； 分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（5）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限 解:（1）== （2） （－n）= == （3）原式===（1+）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，∴原式无极限 对于（2）要避免出现下面两种错误：①（－n）= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在 对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误 例2 B 例3 数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且=3,求的值为 解：由=3(d1=3d2 ， ∴== 点评：化归