高中数学三章变化率与导数4.1导数的加法与减法法则北师大版选修1_1.pptVIP

第三章　§4　导数的四则运算法则 4.1　导数的加法与减法法则 学习目标 1.理解导数的加法、减法法则. 2.运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点　导数的加法与减法法则 思考1　 怎样求函数f(x)＝x＋x2的导函数？ 答案 根据导数定义 Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－(x＋x2) ＝Δx＋2x·Δx＋(Δx)2. 即f′(x)＝1＋2x，可以看出(x＋x2)′＝x′＋(x2)′. 思考2　 将思考1的结论推广，可得到导数的加法、减法法则，请写出来. 答案 [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)， [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x). 梳理 两个函数和(差)的导数等于 的和(差)， 即[f(x)＋g(x)]′＝ ， [f(x)－g(x)]′＝ . 这两个函数导数 f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) 题型探究 例1　求下列函数的导数： (1)y＝4cos x－3sin x； 解答 类型一　利用导数的加法与减法法则求导 y′＝(4cos x－3sin x)′＝(4cos x)′－(3sin x)′＝－4sin x－3cos x. (2)y＝x2＋tan x； 解答 y′＝(x2＋tan x)′＝(x2)′＋(tan x)′＝2x＋ 解答 ∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3. 对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程. 反思与感悟 跟踪训练1　(1)求下列函数的导数： 解答 解答 (2)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，求f′(0). ∵f′(x)＝[2xf′(1)＋x2]′＝2f′(1)＋2x， ∴f′(1)＝2f′(1)＋2，即f′(1)＝－2， ∴f(x)＝－4x＋x2，f′(x)＝－4＋2x， ∴f′(0)＝－4. 解答 例2　已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式. 解答 类型二　求导法则的逆向应用 由f′(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b， 把f(x)，f′(x)代入关于x的方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，又该方程对一切x∈R恒成立， 所以 所以f(x)＝2x2＋2x＋1. 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数. 反思与感悟 跟踪训练2　设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根， 且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式. ∵f′(x)＝2x＋1， ∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)， 又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根， 即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c＝0，即c＝ ， ∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋x＋ . 解答 例3　已知函数f(x)＝x3＋x－16. 求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程. 类型三　导数的加法与减法法则的应用 可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上. 因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， 所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即13x－y－32＝0. 解答 引申探究 直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标. 解答 得x0＝－2，∴切点(－2，－26)， f′(x0)＝f′(－2)＝13，则直线l的方程为13x－y＝0. 解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系： (1)切点坐标满足曲线方程； (2)切点坐标满足对应切线的方程； (3)切线的斜率是函数在此切点处的导数值. 反思与感悟 跟踪训练3　已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积. 解答 因为f′(x)＝2x＋1，f′(1)＝3，所以l1的方程为y＝3x－3. 设l2与曲线的切点为(b，b2＋b－2)，则l2的