高中数学三章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程（一）北师大版选修2_1.pptVIP

解答 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2， 由|PF1||PF2|知，PF2垂直于长轴. 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上， 类型三　椭圆中焦点三角形问题 例4　(1)已知P是椭圆 ＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积； 解答 在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2， 即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°， ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， ∴∠F1PF2＝120°. 解答 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数. 在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解. 反思与感悟 证明 在△PF1F2中，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a. 两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2. ① 根据余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos α＝4c2. ② ①－②，得(1＋cos α)|PF1||PF2|＝2b2， 第三章　§1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程(一) 学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1　 知识点一　椭圆的定义 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？ 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆. 答案 思考2　 在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？ 笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆. 答案 梳理 (1)我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 (大于|F1F2|)的点的集合叫作 .这两个定点叫作椭圆的 ，两焦点间的距离叫作椭圆的 . (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a|F1F2|}. 常数 椭圆 焦距 焦点 (3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 知识点二　椭圆的标准方程 思考1　 在椭圆的标准方程中abc一定成立吗？ 不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定. 答案 思考2　 若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？ 答案 梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式 x轴 (2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 (3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为 ＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0，1)，焦距|F1F2|＝2. 题型探究 类型一　椭圆的定义解读 例1　点P(－3，0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹. 解答 方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3，0)，半径r＝8. 因为动圆M与已知圆相内切且过P点， 所以|MC|＋|MP|＝r＝8， 根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值86＝|CP|， 所以动点M的轨迹是椭圆. 引申探究 若将本例中圆C的方程改为x2＋y2－6x－27＝0呢？ 解答 设M(x，y)，据题意，圆C：(x－3)2＋y2＝36， 圆心C(3，0)，半径r＝6. 据题意，有|MC|＋|MP|＝r＝6＝|CP|. 故动