光栅衍射特性的研究.doc

光栅衍射特性研究 陈锦（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011） 指导教师：张杰 摘要：本文根据惠更斯-菲涅耳原理计算推导了夫琅禾费衍射场下光栅衍射的光强分布公式，详细分析了平面光栅衍射的特性，利用MATLAB软件进行了衍射图样的仿真，绘制了相应的衍射光强分布图并结合理论公式光栅衍射中的缺级现象、光栅的分辨率问题讨论。文章最后简单介绍了光栅在生产实际中的应用。 关键字：光栅，光栅衍射，光强分布，强度 1引言 衍射光栅作为一种优良的分光元件，在近代光谱仪中有广泛的应用，比如利用光栅衍射可以作为光谱分析，测量光波的波长等[1-]。光栅是一种具有高分辨本领的精密光学元件，它是由大量等宽等间距的平行狭缝构成的光学器件。一般常用的光栅是在玻璃片上刻出大量平行刻痕制成，刻痕为不透光部分，两刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一狭缝。精致的光栅，在1cm宽度内刻有几千条乃至上万条刻痕。这种利用透射光衍射的光栅称为透射光栅，还有利用两刻痕间的反射光衍射的光栅，如在镀有金属层的表面上刻出许多平行刻痕，两刻痕间的光滑金属面可以反射光，这种光栅称为反射光栅。本文着重对平面光栅衍射特性做一些探究。 MATLAB是一个集数值计算、图形处理、符号计算、数学建模、实时控制、动态仿真等诸多功能于一身的数学应用软件[]，在光学中得到广泛应用[7]。本文应用MATLAB的数值计算和绘图功能，根据夫琅禾费衍射场的理论公式，计算得出光强分布矩阵并绘制出光强分布曲线及其衍射图样。 2 光的衍射理论 惠更斯原理[]内容是：传播中的波面上任何一点都可以认为是一个新的次波源，由这些次波源发出的次波是球面波，这些次波的公共包络面就是下一时刻的波面。法国物理学家菲涅耳根据叠加原理将惠更斯原理进一步具体化，并给出其数学表达式，即惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式： （1） 此后，德国物理学家基尔霍夫从定态的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在kr1,即rλ的条件下，导出了无源空间边值定解表达式： （2） 他还提出了关于边界条件的假设，并进一步将衍射积分公式简化为[6]： （3） 此时衍射面积分只限于光孔面。据此在傍轴条件下衍射积分公式为： （4） 这便是光衍射场强的计算公式。 3．光栅衍射光强分布计算公式推导 3.1 夫琅禾费单缝衍射光强分布 设波长为λ的平面波射向缝宽为AB=b的狭缝，衍射后经透镜L会聚在焦平面上，如图1所示，由惠更斯-菲涅耳原理可知，在焦平面上任一点P的复振幅为： （5） 图1 单缝衍射示意图 把狭缝细分为垂直于x轴的许多小面元，面积为dS=ldx，l为缝的长度，在平面波入射情况下，U（Q）为常量，在角度不大情况下，,因为,只有相位因子中的不能忽略，从而有 （6） 令 （7） 则 （8） 故 （9） 3.2 夫琅禾费双缝衍射的光强分布 如图2所示，衍射屏上A、B处各有一条宽为b的缝，缝间距为d。经透镜L作用后，两条缝的衍射光在焦平面上的光强分布一致，相位分布不同。把坐标原点分别放在A与B的中心。根据式（5）有： 图2 双缝衍射示意图 （10a） （10b） 令，则有 （11） 式中γ为单缝中心与双缝中心的光在P点的产生的相位差，，所以夫琅禾费双缝衍射的光强分布表达式为： （12） 3.3 平面光栅的衍射 3.3.1 光栅衍射的强度分布 图3 光栅衍射示意图 以上双缝衍射的讨论可以推广至多缝的情况。有N条等间距的缝，缝宽均为b，间距为d，如图3则相邻缝的对应程差为： ，相位差为。由式（）知， （） 若坐标原点放在第一个缝的中心，则就是它的单缝衍射振幅，而则是另一个缝的衍射振幅。从而有 （） 所以，光栅衍射的光强分布公式为： （5） 式中代表每一单缝在入射光方向的光强，代表每一缝的两边缘发出的子波到达P点相位差的一半，N代表总