存在和恒成立(含答案).doc

存在与恒成立恒成立问题：存在问题：恰成立问题：相等问题：综合问题：（7）（10）考点一.恒成立问题命题点1.参变分离：简单最值（1）设函数f(x)＝－x3＋3x＋2，若不等式f(3＋2sin θ)m对任意θ恒成立，求实数m的取值范围．解：令x=3＋2sin θ∈[1,5]，从而只需mf(x)max，x∈[1,5]，f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，x＝±1，当x∈[1,5]时，f′(x)≤0恒成立，即f(x)在[1,5]上为减函数，f(x)max＝f(1)＝4，则m4．（2）设函数，若对任意，有，求b的取值范围。解：由题：f(x)max-f(x)min《4，f(x)开口向上，对称轴为, 最大值必为f(-1)=1-b+c或f(1)=1+b+c，（1）若,即-2b2,则最小值为, 则-2b6。（2）若,即b2或b-2,则|f(1)-f(-1)|=|2b|4,得|b|2, 矛盾（舍）。综合得b：[-2,2]。命题点2.参变分离：二阶求导与洛必达法则秒杀：洛必达法则操作步骤（分离→构造→求导→抛弃→判断→洛必达→结论）第一步：分离参数，得到；第二步：构造函数；第三步：证明单调性；（求，可能需要二次求导，直到可以判断导数正负终止，写出单调区间，确定极值点） 第四步：判断当时，是否为或型）第五步：运用洛必达法则求在处极限；（==……，直到代入x=a有意义可求出极限为止。）第六步：求出参数范围（1）已知解：，（单调性不确定则二阶求导），（单减），，，则a-1.(2)已知解：，（单调性不确定则二阶求导），，故g(x)单调递增，g(x)》g(0)=(由洛必达法则），则a《1.（3）已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x，若当x》0时成立，求a的取值范围．解：由题意得当时，,当时，，令，，令，则，则在上递减，故，故，故，又，故。（4）设函数，其中是的导函数，若恒成立，求实数的取值范围。解：由题意得当时，,当时，，令，，令，则，则在上递增，故，故，故，又，故。命题点3.斜率型求参数（1）设函数，若对任意ba0，恒成立，求实数m的取值范围．解：。（2）设函数，若对任意ba0，恒成立，求实数m的取值范围．解：。命题点4.直接法求参数（1）已知函数，若恒成立，求a的取值范围。解：，当，原式成立；当，不符合题意，则a》-2.（2）设函数，如果当x0时且时，恒成立，求实数k的取值范围．解：设，，；；综上k《0。命题点5.两函数法（1）已知函数，若恒成立，求a的取值范围。解：，，。考点二。存在性问题（1）设f(x)＝eq \f(a,x)＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对任意的s，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．解：(1)存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于：[g(x1)－g(x2)]max≥M，g(x)＝x3－x2－3，g′(x)＝3x2－2x＝3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))，x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))2g′(x)－0＋g(x)－3递减极(最)小值－eq \f(85,27)递增1由上表可知：g(x)min＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝－eq \f(85,27)，g(x)max＝g(2)＝1，[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝eq \f(112,27)，最大整数M＝4.由题：在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上，函数f(x)》g(x)max恒成立，由(1)知，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上，g(x)的最大值为g(2)＝1.∴f(x)≥1恒成立，即eq \f(a,x)＋xln x》1恒成立，则，令h(x)=,=0，,则h(x)在单调递增，在（1,2)单调递减，故h(x)max=h(1)=1，则a》1.（2）函数, , 若对任意 ，均存在，使得, 求a的取值范围。解：由题：，，f(x)在x∈ (0,2] HYPERLINK /s?wd=%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8Btncprfenlei=mv6