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工程数学--线性代数课后题答案_第五版1第三章　矩阵的初等变换与线性方程组 1? 把下列矩阵化为行最简形矩阵? (1)? 解 (下一步? r2?(?2)r1? r3?(?3)r1? ) ~(下一步? r2?(?1)? r3?(?2)? ) ~(下一步? r3?r2? ) ~(下一步? r3?3? ) ~(下一步? r2?3r3? ) ~(下一步? r1?(?2)r2? r1?r3? ) ~? (2)? 解 (下一步: r2?2?(-3)r1, r3+(-2)r1. ) ~(下一步: r3+r2, r1+3r2. ) ~(下一步: r1?2. ) ~? (3)? 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. ) ~(下一步: r2?(-4), r3?(-3) , r4?(-5). ) ~(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) ~? (4)? 解 (下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. ) ~(下一步: r2?2r1, r3-8r1, r4-7r1. ) ~(下一步: r1?r2, r2?(?1), r4-r3. ) ~(下一步: r2?r3. ) ~? 2? 设? 求A? 解 是初等矩阵E(1? 2)? 其逆矩阵就是其本身? 是初等矩阵E(1? 2(1))? 其逆矩阵是 E(1? 2(?1)) ? ? 3? 试利用矩阵的初等变换? 求下列方阵的逆矩阵? (1)? 解 ~ ~~ ~故逆矩阵为? (2)? 解 ~ ~ ~ ~ ~故逆矩阵为? 4? (1)设? ? 求X使AX?B? 解 因为 ? 所以 ? (2)设? ? 求X使XA?B? 解 考虑ATXT?BT? 因为 ? 所以 ? 从而 ? 5? 设? AX ?2X?A? 求X? 解 原方程化为(A?2E)X ?A? 因为 ? 所以 ? 6? 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r?1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中? 可能存在等于0的r?1阶子式? 也可能存在等于0的r阶子式? 例如? ? R(A)?3? 是等于0的2阶子式? 是等于0的3阶子式? 7? 从矩阵A中划去一行得到矩阵B? 问A? B的秩的关系怎样? 解 R(A)?R(B)? 这是因为B的非零子式必是A的非零子式? 故A的秩不会小于B的秩? 8? 求作一个秩是4的方阵? 它的两个行向量是(1? 0? 1? 0? 0)? (1? ?1? 0? 0? 0)? 解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵? ?此矩阵的秩为4? 其第2行和第3行是已知向量? 9? 求下列矩阵的秩? 并求一个最高阶非零子式? (1); 解 (下一步: r1?r2. ) ~(下一步: r2-3r1, r3-r1. ) ~(下一步: r3-r2. ) ~? 矩阵的? 是一个最高阶非零子式? (2)? 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. ) ~(下一步: r3-3r2. ) ~? 矩阵的秩是2? 是一个最高阶非零子式? (3)? 解 (下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. ) ~(下一步: r2?3r1, r3?2r1. ) ~(下一步: r2?16r4, r3-16r2. ) ~ ~? 矩阵的秩为3? 是一个最高阶非零子式? 10? 设A、B都是m?n矩阵? 证明A~B的充分必要条件是R(A)?R(B)? 证明 根据定理3? 必要性是成立的? 充分性? 设R(A)?R(B)? 则A与B的标准形是相同的? 设A与B的标准形为D? 则有A~D? D~B?由等价关系的传递性? 有A~B? 11? 设? 问k为何值? 可