年高考谈的研究性学习.docVIP

从 2006 年 高 考 谈 研 究 性 学 习 ----2006年部分高考题评析 曹杨二中数学教研组 孙永鋐 数学问题与解，通常包括四个要素：条件、结论、解题策略（方法）和解题依据。针对今年全国各地的高考创新题，本文谈谈研究性学习问题。研究性学习问题，主要是针对提出的数学问题，充分研究数学问题的条件和结论之间的联系，运用数学综合能力，发现解题依据，从中寻求最佳解题策略，完成数学问题提出研究目标。 在数学教育领域内，数学综合能力（包括完成数学活动的心理能力和学科知识能力）的培养和形成历来是数学教育的核心问题，其中学习新的数学知识的能力、探索研究数学问题的能力、应用数学知识解决实际问题能力和数学创新能力，是进行研究性学习的综合基础。因此，探求研究性学习问题的解极富挑战性，特别有利于发现能力、形成能力和培养创新精神。在高考命题“能力命题”的背景下，研究性学习问题越来越引起人们的广泛关注，已经形成了高考的热点之一。 例1 （2006年上海高考）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任 意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”。已知常数，，给出下列命题： ①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个； ②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个； ③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个。 上述命题中，正确命题的个数是 （ ） （）； （）； （）； （）。 【分析】 这是一个结论探索型数学问题。这里的常数、不能理解为给定的常数，否则会引起选择的混乱。为避免理解上的混乱，可改为研究下面的问题：在“距离坐标”的定义下，“距离坐标”为的点有 几个。则由，自然就要进行分类讨论，显然可以分“、均为零”、“与中有且只有一个为零”、“与均不为零”三种情形，这就归结为探索命题①、②、③的正确性。 解：设“距离坐标”为的点为。 命题①：当时，，而两直线和的交点唯一，因而点就是两直线的交点，即，命题①正确。 命题②：当，即或时，若“距离坐标”为，则点，并且这样的点有两个，它们关于点对称；若“距离坐标”为，则同样在上存在关于点对称的两点满足条件；又因为或有且只有一种情形出现，因而命题②正确。 命题③：当 时，作出到直线距离等于的轨迹（平行于且在的两侧直线）、和到直线距离等于的轨迹（平行于且在的两侧直线）、，四条直线、 、、的四个交点满足“距离坐标”为，这4个点恰为以交点为中心的平行四边形的四个顶点，故命题③正确。 由上可知，应选。 【评析】 结论探索型数学问题，是已知条件需要探索相应的结论。这类问题一般分两种情形：一种是给出若干结论，需要探索结论的真伪；一种是结论未知，需要探索一个或几个与条件相容的正确结论（包括结论不确定的开放性问题）。对于前一种情形，今年全国不少省市都有这类高考创新题。如： 1．（2006年福建高考）对于直角坐标平面内的任意两点、，定义它们之间的一种“距离”：。给出下列三个命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，。 其中真命题的个数为 （ ） （）； （）； （）； （）。 答案：。 2．（2006年四川高考）非空集合关于运算满足：（1）对任意、，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算： ①{非负整数}，为整数的加法。 ②{偶数}，为整数的乘法。 ③{平面向量}，为平面向量的加法。 ④{二次三项式}，为多项式的加法。 ⑤{虚数}，为复数的乘法。 其中关于运算为“融洽集”的是 （写出所有“融洽集”的序号） 答案：①和③。 例2 （2006年上海高考）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 。 【分析】 这是学习能力型的数学问题，根据“正交线面对”的定义，在一个正方体中 寻求由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数。 解：由“正交线面对”的定义，正方体中“正交线面对”可分两类： 1每条对角线都与两个表面垂直 每条棱所在直线都能与两个表面所在平的 面构成个“正交线面对”条棱能 构成个“正交线面对”； 2每个表面的一条对角线都有一个与 之垂直的对角面，即构成个“正交线面 对”条表面对角线能构成个“正交线面