微分方程模型（数学建模）.ppt

数学建摸课程 Z取不同值时的浓度C（30）和时间T 休息一会 * * 战争的预测与评估问题 3. 模型的建立与求解 兰彻斯特多兵种作战模型． * * 战争的预测与评估问题 3. 模型的建立与求解 问题(3)作为思考题,参见兰彻斯特作战模型. * * 　　 SARS(严重急性呼吸道综合症, 俗称:非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病． SARS的爆发和蔓延给部分国家和地区的经济发展和人民生活带来了一定的影响，人们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性． 传染病模型 １．问题的提出 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 传染病模型 1. 问题的要求 * * 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为? 模型1 假设 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 建模 ? * * 模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 假设 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数为?, 且使接触的健康人致病 建模 ? ~ 日 接触率 SI 模型 * * 每个每天可使λs(t)个健康人变成病人 模型2 1/2 tm i i0 1 0 t tm~传染病高潮到来时刻 ? (日接触率)? ? tm? Logistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 * * 日接触率λ表示该地区的卫生水平，λ越小表示卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。 模型3 传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染 增加假设 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为? ? ~日治愈率 建模 ? ~ 日接触率 1/? ~感染期 ? ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 * * i0 i0 接触数? =1 ～阈值 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 1-1/? i0 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例？ i di/dt 0 1 ? 1 0 t i ? 1 1-1/? i 0 t ? ?1 di/dt 0 * * di/dt=0的稳定平衡点 模型4 传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者 SIR模型 假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 2）病人的日接触率? , 日治愈率?, 接触数 ? = ? / ? 建模 需建立 的两个方程 * * SIR模型 无法求出 的解析解 在相平面 上 研究解的性质 * * 对于病愈免疫移出者 消去dt 相轨线 的定义域 相轨线 1 1 s i 0 D 在D内作相轨线 的图形，进行分析 * * s i 1 0 1 D SIR模型 相轨线 及其分析 传染病蔓延 传染病不蔓延 s(t)单调减?相轨线的方向 P1 s0 im P1: s01/? ? i(t)先升后降至0 P2: s01/? ? i(t)单调降至0 1/?~阈值 P3 P4 P2 S0 * * SIR模型 预防传染病蔓延的手段 ? (日接触率)? ? 卫生水平? ?(日治愈率)? ? 医疗水平? 传染病不蔓延的条件——s01/? ? 的估计 降低 s0 提高 r0 提高阈值 1/? 降低 ?(=?/?) ? ?, ? ? 群体免疫 * * SIR模型 被传染人数的估计 记被传染人数比例 xs0 i 0 P1 ? i0 ?0, s0 ?1 ? 小, s0 ? ?1 提高阈值1/??降低被传染人数比例 x s0 - 1/? = ? * * * * SARS的传播问题 １．问题的提出 请你对SARS 的传播建立数学模型，要求说明怎样才能建立一个真正能够预测，以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，这样做的困难在哪里？并对疫情传播所造成的影响做出估计. * * 实际中，SARS的传染过程为： “易感人群→病毒潜伏人群→ 发病人群→退出者” 通过分析各类人群之间的转化关系，可以建立微分方程模型来刻画SARS传染规律．