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善用图式表征促进学生数学能力深层建构 　　摘要：数学直观是数学学习的一种重要策略，是以数学直观符号为基本构成要素、以信息加工过程的直观性为形态的认知方式。借助图式可以使抽象知识具体化、使复杂知识简洁化、使单一知识多元化、使特殊知识一般化，从而有助于探索解决问题的思路，在整个数学学习过程中发挥着非常重要的作用。 　　关键词：图式表征；深层建构；小学数学教学 　　中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2013）03-0067-05 　　《义务教育数学课程标准（2011年版》修订时把几何直观作为义务教育数学课程的核心内容之一，提出在数学学习中要初步形成几何直观，强调几何直观在学生建立数学概念、解决数学问题过程中的地位和作用。借助几何直观不仅可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有利于学生探寻正确的解题思路，而且可以帮助学生沟通数学问题之间的联系，增进数学理解，形成结构化的数学知识。利用数学图式表征数学事实，描述和分析数学问题是学生在数学学习中最常用、最有效的方式之一。[1] 　　脑科学家的研究表明，学习是建立神经网络的过程。在人的一生当中，每个人都通过具体的经验、表征或者符号学习以及抽象学习在脑的皮层上建立了令人难以置信的大量神经网络来储存信息。很多最牢固的神经网络都是通过实际的经验建立起来的。根据信息加工的观点，当有机体对外界信息进行加工（输入、编码、转换、存储和提取等）时，这些信息是以表征的形式在头脑中出现的。 　　数学图式是以直观符号为基本构成要素，以信息加工过程的直观性为形态的认知方式。[2]图式表征作为一种重要的科学方法和学习工具，可以帮助学生理解和掌握一些抽象的概念和理论。皮亚杰认为，所有的生物包括人在与周围环境的作用中都有适应和建构的倾向。当已有图式不能解决面临的问题情境时，个体会很自然地试图通过各种方式来调整这种不平衡。建构主义认为，学习不是由老师把知识简单地传递给学生，而是学生自主建构知识的过程，这种建构是无法由他人来代替的。笔者认为，图式表征是帮助学生自主建构知识的重要手段之一，应始终伴随儿童学习数学的过程，在培养学生几何直观能力的同时，促进学生对知识的深层建构。 　　一、巧用图式，表征数学事实，使抽象知识具体化 　　图式是提示数学对象的性质和关系的有力工具。[3]美国当代教育心理学家威特罗克提出的生成学习观认为：学习者头脑中的知识绝不是纯粹客观事物的摹本，也不是简单地由教师、教材“传递移入”的，而是主动建构它对信息的解释，并从中作出推论。康德也指出，图式是“潜藏在人类心灵深处”的一种技巧，是一种个体印记的经验化的教程。学习者不是被动地接收信息，而是主动参与到信息领悟过程中，努力建构有意义的理解，通过将信息纳入图式中，它既能够带来同化性学习，即图式适配，也能够导致顺应性学习，即建立新图式。[4] 　　数学家克莱因认为：“数学的直观是对概念、证明的直接把握”。[5]在数学教学中，由于受学生的知识经验和思维水平的限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的概念或性质，这时图形直观往往会成为有效的表达工具。[6]通过图式，把抽象问题具体化，不仅直观形象，有利于思考，而且信息量大，概括性强，为学生创造自主思考的机会，促使学生通过自主探索和合作交流，发现和再创造数学知识，获得对数学的深刻理解。 　　1.图式能帮助我们深刻理解数学概念和性质 　　所谓数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式，而数学知识的性质则是指从数学概念直接推导得出的运算法则或者运算公式等延伸的知识，具有高度的概括性和抽象性。图式是表达数学概念和性质的独特方式，它把数学概念和性质形象化、数量化，能帮助学生深刻理解数学的概念和性质。正如我国著名数学家张广厚认为：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的，同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握问题的实质。”如平面图形周长的概念为：封闭的平面图形边界的总长叫做这个图形的周长。什么叫封闭的平面图形？什么叫边界的总长？这对学生来说十分抽象，而利用图式则能很具体地表达这两层意思： 　　通过图1中图式①和图式②了解何为不封闭的平面图形何为封闭图形，通过图式③认识图形的周长并不是图形中所有线段的总长，图式④的四条加粗的线段才是边界的总长，也就是这个封闭图形的周长，学生通过对图式的观察比较，明晰周长的概念。在小数的认识中，假若1个正方形表示1元，怎样表示0.7元？图2中图式⑤就很具体地表征了小数的具体意义：将1元平均分成10份，每份是0.1元，7份就是0.7元。同样，在三年级初步认识分数时，图式对学生理解分数大小的比较也起到不可估量的作用，如图式⑥。 　　没有图形就没有思考，理性的思考过程以直观的图式表示出来，使之形象化、视觉化，建立起