《常微分方程》答疑题.doc

常微分方程题目1．求下列方程的通解xyy+1=y解：将方程变形为xydy=(y-1)dx或＝，当xy0,y1时积分得＋y+ln+=c2．求解下列方程＝解： 这是齐次方程。令y=zx, =x＋z,将方程化为z+x=,并即x＝分离变量得积分得ln|n|+ln(z+2)-ln|z|=ln|C|,或＝C用z=y\x代入得原来的变量。　x＋y＝Cy.注意y=0也是方程的解。3．=解： 这是齐次方程。令y=zx原方程化为－du=两边积分得　　－ln|z|=ln|cx|用z=代入得y=exp()y=0也是原方程的解。4．=解：. 方程右边分子，分母两条直线交点为（x , y）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为＝，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得dz=,积分得＝C原方程通积分为　　y=x+c(x+y+1)+35．将（2x-4y+6）dx+(x+y-3)dy=0化为齐次方程。解：方程变形为=，它的分子，分母两条直线交点为（1,2）作变换，于是得到＝，它已经是齐次方程。6．求解=f(x+y+1)解：令z=x+y+1,则＝1＋，于是=1+f(z),只要＋f(z)0,可分离变量得　x=+C7．说明当p(x连续时，线性齐次方程的0解唯一。解：因p(x)连续，y(x)= yexp(-)在p(x)连续的区间有意义，而exp(-)＞0。如果y＝0，推出y(x)=0,如果y(x)0,故零解y(x)=0唯一。8．证明线性齐次方程任意两个解的和与差仍是它的解。解：设有两个解y(x),y(x),则y (x)+p(x) y(x)0, y(x)+p(x) y(x) 0,则（y(x) y(x)）＋y(x)( y(x)+y(x))=( y (x)+p(x) y(x))+ y(x)+p(x) y(x) 0表明y(x)y(x)仍是解。9．常数变易法用变换y=C(x)exp(-dx)与线性齐次方程通解有什么不同解：在线性齐次方程通解公式中C是任意常数而在常数变易法中C（x）是x的可微函数。将任意常数C变成可微函数C（x），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。10．求解方程y－2y=　xexp(2x),y(0)=0.解：用公式求得方程通解y(x)=exp(2x) (C+ xexp(2x) exp(-2x)dx)=exp(2x)(c’+x)利用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=x exp(2x)11．解方程=解：将x 看作自变量，y看成函数，则它是非线性方程，经变形为　　　　　＝x+y以x为未知函数,y是自变量，它是线性方程，则通积分为x=exp()(c+=cexp(y)-y-112．化下列方程为线性方程y’-y=xy’= y-- x-1答案：解：（！）此为贝努利方程。令z=得－z=,它是线性方程。此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x作变换y=z-x,得贝努利方程z+2z=z,再将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。（2）此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x作变换y=z-x,得贝努利方程z+2z=z,再将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。13．用变量替换或微分方法将下面方程化为线性xdx=( x－2y+1)dy(x+1)(y y-1)= yy(x)=x+1答案：令z= x,则dz=2xdx,代入方程得1/2dz=(z-2y+1)dy它已经是线性方程。令u=y,则=2yy’,代回原方程得（x+1）(1/2u-1)=u,变形为=＋2这已经是线性方程。它不是微分方程，但对它求导后得　　　　　＝y(x)+1,这已经是线性方程。14．求下列方程的通解或通积分解 当时，分离变量得 等式两端积分得 即通解为15求下列方程的通解或通积分．解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 +16求下列方程的通解或通积分．解 由于，所以原方程是全微分方程． 取，原方程的通积分为 即 17求下列方程的通解或通积分解 令，则原方程的参数形式为