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第一章 集合与无限 §1 集合的语言和运算 集合的概念 把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体叫做集合。 集合论的语言 基本动词： 属于∈， 衍生出 ，子集等 逻辑语言： 或，且，非 定义集合间的运算并∪ ，交∩ ，差\ 集合的表示方式 1.列举法： 揭示概念外延的方式，将集合中的元素一一列出。 如{1,3,5,7} 2.描述法： 揭示内涵的方式，即指出集合元素所满足的条件（也即元素所共有的特征）。 如{n∈N：n为不超过8的奇数} 集合的基本运算性质 1.结合律： A∪（B∪C）= （A∪B）∪C A∩（B∩C）=（A∩ B）∩C 2.交换律： A∪B = B∪A； A ∩ B = B ∩ A 3.分配律： A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） 4.De Morgan定理： 5.幂等律： 6.对合律： 7.余补律： §2 集合的势 2.1 集合的幂集 2.2 有限集和无限集 听说过“希尔伯特旅店”吗？ 有限集：含有有限个元素的集合。 无限集： 含有无限个元素的集合（或一个非空集合，若不是有限集就称为无限集）。 无限集的本质特征的定义： 无限集能与自己的某些真子集一一对应。 集合的对等 如何比较集合的大小？ 集合的势 对等关系是等价关系。 利用对等关系可以对一切集合进行分类，即彼此对等的集合在同一类，给予一个标志，称之为势（或基数）。 有限集合的势即为其所含元素个数。 空集的势为0。 典型例题 无限集的元素个数不尽相同？ 可列集 定理1.1 任何无限集A必有一子集B与自然数集N一一对应。 把自然数集N的势记为?0 定义1.3 凡是能与自然数集N一一对应的集合称为可列集（或称可数集）。 可列集的性质 1.A是可列集，B是可列集，则A∪B也是可列集。 2.Ai（i=1,2,3, …，n）是可列集，则A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An也是可列集。 3.推广：A是可列集， Ai （i=1,2,3, …）是A的无限真子集，则∪ Ai也是可列集。 典型例题 例3 证明正偶数集是可列集。 例4 证明整数集是可列集。 例5 有理数集是可列集。 例6 证明（-1,1）～（a，b），其中a，b为实数。 同理，证明（c，d） ～（a，b），其中a，b ，c，d为实数。 例7 试证[a,b] ～(-∞,+∞).  类似可证， [a,b） ～(-∞,+∞)，（a,b] ～(-∞,+∞). 相关定理 相关概念 定义1.4 与[0,1]对等的集合称为具有连续统势的集合，其势记为?。 集合的势的性质 1. 有限个 互不相交的势为? 的集合的并集，其势仍为? ： ?+ ? + … +? =? 2.可数个互不相交的势为? 的集合的并集，其势仍为? ： ?0×? =? 3.若集合Ak（k=1,2, …,n)的势为? ,则A1 × A2 ×…× An的势仍为? ： ?× ?× … ×? =? 重要结论 对无限集，除了?0和?外还有其它势，且有无限个不同的势，对任一势来说，必存在比他更大的势，即势无最大。 记?=?1，即2?0 =?1，同样，2?1 =?2 …，并且有?0 ?1 ?2 …，因为无最大的势，所以不存在包含一切集合的集合。 §3 集合论的思想方法在 中学数学中的应用 集合论的思想方法在中学数学中的应用 1.从集合论的高度，对中学数学内容加以概括，能更好地从整体上把握中学数学的研究对象。 2.用集合论的语言表达有关概念更为简洁。 3.集合论的思想方法对解题的指导作用。 典型例题 有篮球运动员10人，7人能打中锋，4人能打后卫，今从中选出3中锋2后卫参赛，问共有多少种出场方案？ §4 罗素悖论 罗素悖论的由来 “集合是指具有某种特定性质的事物的总体” 不能成为集合的确切定义 一句自行矛盾的话 “由一切集合构成的集合” 罗素悖论 1903年，罗素悖论： 集合分为两类： 正常集——自身不属于自己的集合； 异常集——自身属于自己的集合。 设M={A∣A不属于A}，N={A∣A ∈A}，则M既不是正常集，也不是异常集。 乡村理发师的故事 一位理发师声称：他要给所