中学数学中最值的求解方法--.doc

【标题】中学数学中最值的求解方法 【作者】蒋 雪 琳 【关键词】函数??最值问题??解法?? 【指导老师】米 永 生 【专业】数学教育 【正文】1引言函数是中学数学的主体内容,贯穿于整个中学阶段,而函数最值问题是函数的重要组成部分.?处理函数最值的过程就是实现新问题向旧问题的转化,复杂问题向简单问题的转化,实现未知向已知的转化,虽然解决问题的具体过程不尽相同,但就其思维方式来讲,通常是将待解决的问题通过一次又一次的转化,直至划归为一类已解决或很容易解决的问题,从而获得原问题的解答。由于最值问题的概念性强，涉及的知识面广，对于学生分析能力和逻辑推理能力要求较高，因而历年来是学生学习和应考的重点和难点，那我们又如何综合应用知识巧妙地结合简便方法来使解题过程简捷并且起到事半功倍的效果，这个还是我们的难点，也是我们学生解题时的一个薄弱环节，这还有待我们进一步研究。而聂文喜[1]与余继红[2]对三角函数最值问题的特殊形式进行了分析探究,归纳整理。李忠贵[3]对如何巧构、妙用基本不等式进行了研究。王俊[4]分析了竞赛题中的最值问题。黄兴海[5]对一类二次函数条件最值的几种求法进行了研究。黄爱民与石昱[6]分析了用换元法求二元函数条件最值。曹贤鸣[7]在应用闭区间上二次函数的最值求解数学题进行了研究。戴亚宁[8]分析并归纳求解多元函数最值的有效策略。臧立本[9]对如何求不等式中参数的范围进行了研究。赵霞[10]对建立解几基本解题模型求函数最值进行了分析。以上都对函数最值的求解方法进行了一定的研究,但都是针对个别方面进行的研究,都还不够完善,还需要我们进一步的研究、探讨。2三角函数最值问题的常见类型及求法三角函数的最值问题作为一种基本题型，是三角函数的概念、图像、性质及三角公式的综合应用，也是函数思想的具体体现。2.1??=??+???型对于此类型，可用辅助角公式将其化为?的形式，其中?，?，即?.例题1:??求函数?=?????(x R)的最大值.分析：观察此函数，不易发现函数同时含有正弦与余弦，于是就用公式?将函数转化为只含有正弦,再利用?求出最值.解:??因为?=????=??,x R,??为辅助角，所以函数的最大值为?.评析：充分利用公式?，再利用?，最后求出此函数的最大值.2.2??=??+??型对于此类型,可先降次、整理,再化为?=??+???形式来求解.例题2:?已知函数?,?求?的最大值与最小值.分析：观察此函数，发现可以利用倍角公式将函数降次，即转化为一次函数，再利用公式?转化为只含有正弦,从而利用?求出最值.解:???=?=?所以函数?的最大值为?,最小值为?.评析：充分利用公式?，再利用?，最后求出此函数的最大值.2.3??=??+??型对于此类型,可转化为一次函数在区间上的最值问题.例题3:若??(0?1)?在区间[0,??]上的最大值为?,求?.分析:?认真审题后,会发现先从定义域入手表示出?的范围，再表示出?的最大值，根据其最大值为??，求出?的值.解:????因为? 0?1,? 0????,?????????所以 0?????,所以当?=?时,??????=2?=?,即?=?,?????????故???评析：此题的关键是从定义域入手.2.4???型对于此类型，可转化为二次函数???在闭区间?上的值域问题.例题4:?设函数?的最小值为?,求实数?的值.分析：此题应先用倍角公式进行变形，再观察，会发现函数变为?形式，然后进行配方,再按?的取值范围进行分类讨论求值.解:??=?=??若??,?即当?时，函数?取得最小值??.令??=?,?得???(舍去)?或??.若?,则当?时，函数?取得最小值?.令?=?,?得??,与?矛盾,应舍去.若?,则?是函数?取得最小值,且最小值为1,不符合题意.故只有?时函数?的最小值为?.评析：此题的关键就是用倍角公式进行变形后,再对形如?的函数进行求解.2.5???或???型对于?型?,可反解出??,再利用｜?｜ 1即可求出?的取值范围.例题5:??求函数???的最值.分析：这类问题可以利用反函数法,即解出?,再利用｜?｜ 1,解出?的取值范围.解:??因为??，?????所以原函数可化为?.由｜?｜ 1,?得｜?｜ 1,?解得??.故函数?的最大值为?,最小值为?.评析：此题的关键步骤就是进行反解，再利用｜?｜ 1进行求解.对于?型,可利用正弦、余弦函数的有界性，或三角方程?有解的充要条件?来求它的最值。特别地，当?时，也可转化为两点连线的斜率问题。例题6：?求函数?的最值.分析：?这类问题可以利用反函数法,即解出?,再利用｜?｜ 1解出?的取值范围.解法1:??因为?，??所以?,