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幾何三十載丘成桐香港中文大學數學科學研究所 一個質點在空間的移動，可以由映射 x : [0,T] ? R3 來描述。它的速度向量是 ，它的動能是 。 給定空間中兩點 p 和 q ，我們考慮所有連接 p 和 q 的質點路徑，其中動能最小的路徑就是連結 p 和 q 的直線。 假如量度速度向量時不用歐氏度量，而是用隨點變動的內積 　x，我們還是可以定義動能 。 在空間每一點都可以變動的內積，即是說給出了黎曼度量，可以寫作一個張量 。 而上述的動能可以寫成 。 研究這種內積的幾何學叫做黎曼幾何，它推廣了歐氏幾何、雙曲幾何和橢圓幾何。 在一般的黎曼幾何裏，兩點 p 和 q 之間可以有超過一條的路徑使得 E(x) 是極短的。 事實上這些路徑一定是測地線，從球上的北極到南極有無窮多條測地線。 一般來說，很多測地線不是 p 和 q 間最短的線，它們只是局部最短的，即是說在 [0,T] 的任意一個小的線段上是極短的。 在給定 p 和 q 時，我們考慮一個包括所有曲線的空間： 這個空間的拓樸性質可以由所有的從 p 到 q 的測地線和其上的Morse index 指標來決定（Morse 指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數），由?p,q 的拓樸可以推導空間本身的拓樸，這是Bott在古典群上的工作。 在上述的討論裏，假如存在勢能(potential) V : M ? R 則能量可以定義為 。 我們也可以類似的討論。 我們也可以讓 p = q ，並且不固定 p 的選取，這時可以得到所有從圓到 M 上的所有映射的空間，這個空間叫做 ?(M) 。 在研究粒子在固定空間 M 的量子化時，我們考慮 Feyman 積分 由於每一條曲線可以用測地線組成的多邊形逼近，上述在 ?(M) 的積分可以用 Gauss 積分的方法得出它的值，它與 Laplace 算子的行列式有關。在 Rn ， Laplace 算子的定義是 這個算子可以推廣到一般黎曼流形上。 它是幾何、拓樸和數學物理的一個重要橋樑。 在非線性方程的研究中，我們計算線性化算子。往往發現它是某種幾何的 Laplace 算子，因此非線性方程與幾何學有密切關係。 一般來說， Laplace 算子可以看作將函數不斷採取平均值的一個算子。 一個古典問題： 在一個領域 ? 的邊界上給定一個函數 f ，我們希望將 f 延拓到 ? 裏，使得 極小，這叫 Dirichlet 邊值問題，這樣得到的 f 叫調和函數，它滿足 ? f = 0 。 一個構造調和函數的方法為 Perron 方法，就是不斷的取函數的局部平均值， 直至它變為調和函數為止。 以後發現一個更好的辦法是解熱方程： 我們任意延拓 f 到領域 ? 中，使得我們有給定的在邊界上的值，然後解以下的熱方程 此處 ? 為 Laplace 算子。 這方程描述在時間為零時，熱的分佈由 f 給出，而到 t 0 ，則由上述方程的解給出。 當時間趨於無窮時，此問題的解會趨向於一個調和函數，並且保持 f 的邊值，因而解決了 Dirichlet 邊值問題。 這個熱方程方法在廿世紀下半葉的微分幾何中佔了很重要的地位，它給出一個方法將外微分形式漸變為調和形式，因而給出 Hodge 理論一個簡單的證明。 這個證明也可以應用於 Atiyah-Singer 指標定理的局部證明。 Atiyah 和 Singer 研究一階橢圓線性微分算子 D 的解空間的維數。這個算子有對偶算子 D* ，我們也可考慮它的解空間的維數，兩個維數的差叫做算子 D 的指標。 我們考慮算子 exp (-t D*D) – exp (-t DD*) 的迹 (trace)。當時間很大時，它給出算子的指標，但我們發覺在 0 t ? ，它與時間 t 無關，因此它又可在 t ? 0 時計算。