北航传热学热传导问题的数值解法课堂笔记主要知识点掌握.DOC

奥鹏远程教育中心助学服务部 PAGE 心系天下求学人 Page PAGE 1 of NUMPAGES 15 专业 专注 周到 细致北航《传热学》第四章 热传导问题的数值解法 课堂笔记主要知识点掌握程度本章要求同学们主要掌握数值求解的基本思想，分析解和数值解的比较，导热问题求解的基本步骤。掌握内节点离散方程的建立方法，Taylor级数展开法，热平衡法，边界节点离散方程的建立，处理不规则区域的阶梯型逼近法边界节点离散方程的建立及代数方程的求解，会求解代数方程迭代法。掌握非稳态导热问题的数值解法等。知识点整理第一节 数值求解的基本思想一、基本思想把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。将连续的空间连续 → 进行离散将微分方程变换成 → 代数方程二、分析解和数值解的比较分析解 能获得研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； 局限性很大，对复杂问题无法求解； 分析解具有普遍性。数值解 近似解； 弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性，原则上可以求解一切导热问题.2D,3D,复杂几何形状，物性不均匀等； 与实验法相比成本低。数值求解基本思路：由连续的温度场，构建有限的离散点，在这些离散点上建立代数方程，求解所有点上的代数方程；得到离散点上物理量的数值并组成一个集合，构建各种物理量分布（温度场，热流密度曲线等）。三、导热问题数值求解基本步骤物理问题：二维,矩形域,稳态,无内热源，常物性的导热问题，第一、三类边界条件。 建立控制方程及定解条件描写物理问题的微分方程常称控制方程，在这里就是导热微分方程:区域离散化例如用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域 。每个小的区域(控制容积,CV)的物理量值由一个点—节点(也叫结点，node)来表示，例如以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置 。相邻两节点间的距离称为步长(step length)，记为△x、△y。图中x方向及y方向是各自均分的。根据实际问题的需要，网格的划分常常是不均匀的。这里为简便起见采用均分网格。节点的位置以该点在两个方向上的标号m、n来表示。 每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，图4-2b中有阴影线的小区域即是节点〔m，n〕所代表的区域，它由相邻两节点连线的中垂线构成。为叙述方便，我们把节点所代表的小区域称为元体(element),又叫控制容积(control volume)。建立节点物理量的代数方程每一个节点都与它相邻的节点存在一定的关系，通过相应的物理定律，可建立它们之间的关系式（代数方程式），此关系式又称作节点的离散方程。 注意：上式是位于计算区域内部的节点（内接点）的代数方程；同样对于温度未知的位于边界上的节点也要建立相应的方程。 设立迭代初场 代数方程组的求解方法有直接解法与迭代法两大类。在传热问题的有限差分解法中主要采用迭代法。采用此法需要设定初场(initial field)，在求解过程中这一温度场不断得到改进。求解代数方程组 把所有节点的离散方程联立起来，会组成一个封闭的方程组，对代数方程组的求解可采用直接解法或迭代求解，更多的是采用迭代解法。 解的分析 获得物体中的温度分布常常不是工程问题的最终目的，所得出的温度场可能进一步用于计算热流量或计算设备、零部件的热应力及热变形等。计算一个二维肋片，则最终的目的可能是要计算肋效率。对于数值计算所获得的温度场及所需的一些其他物理量应作仔细分析，以获得定性或定量上的一些新的结论。 第二节 内节点离散方程的建立方法建立内节点离散方程的方法有Taylor(泰勒)级数展开法及热平衡法两种。为讨论方便，把按右图节点〔m，n〕及其邻点分析。 一、Taylor级数展开法(Taylor series expansion method) 以节点(m，n)处的二阶偏导数为例推导假定满足连续性条件，都可作Taylor展开两式左右两边分别相加这是用三个离散点上的值来计算二阶导数 截断误差：未明确写出的级数余项中的Δx的最低阶数为2在进行数值