全等性质应用循序版1386KB.PPT

全等性質證明與應用學生循序版 交大網路專班 李政憲 980426 角平分線作圖證明： 角平分線性質證明： 如圖，直線AP 為∠EAF的角平分線，D為直線AP上任意一點，分別從D點作DC⊥AE 和DB⊥AF。 求證：「D點到角兩邊的距離相等」。 證明：(1)△ADC 　△ADB 　　　　　 在△ADC、△ADB中， 　　　 ∵?∠1＝∠2(已知)， 　　　 　　?∠3＝∠4 ＝90o (DC⊥AE ,DB⊥AF) 　　　 　　?AD＝AD（共用邊）， 　　　 ∴△ADC 　△ADB（AAS） 　　　(2)∠EAF的角平分線上D點 到此角兩邊距離相等。 　　　 　∵△ADC 　△ADB ∴CD＝BD（對應邊相等）， 　　　 故∠EAF的角平分線上D點到此角兩邊距離相等。 　　　　※亦即角平分線上任一點至此角兩邊的距離相等。 垂直平分線作圖證明： 如圖是AB 的垂直平分線尺規作圖痕跡， 求證：「直線CD 會垂直平分AB 」。 證明： 　(1)△CAD 　△CBD ?∠3＝∠4 　 　連接AD、BD、AC、BC， 　1. 在△CAD 和△CBD 中， 　　?AC＝BC，?AD＝BD (同半徑)， ?CD＝CD (共同邊)， 　　∴△CAD 　△CBD（SSS）， 　　?∠3＝∠4。 (2)△CAO　△CBO ?直線CD 垂直平分AB 　2. 在△CAO 和△CBO 中， 　　 ?CA＝CB (同半徑)，?CO＝CO (共同邊)， 　　 ?∠3＝∠4(由1.得)， 　　∴△CAO　△CBO（SAS)， 　　?AO＝BO，所以CD 平分AB 。 　　且∠1＝∠2，又∠1＋∠2 ＝180°， 　　∴∠1＝∠2 ＝90°，即CD⊥AB。 　　因此直線CD 垂直平分AB。 垂直平分線性質證明： 如圖，直線L 為AB 的垂直平分線，C是直線L 上一點。 請說明：CA＝CB。 證明：(1)△CAD 　△CBD 　　　　　 在△CAD、△BAD中， 　　　 ∵?∠1＝∠2＝90o， 　　　　　　　?AD＝BD (L 為AB 的中垂線) 　　　 　　?CD＝CD（共用邊）， 　　　 ∴△CAD 　△CBD（SAS） 　　　(2)CA＝CB 　　　 　∵△CAD 　△CBD ∴CA＝CB（對應邊相等） 　　　　※亦即垂直平分線上任一點至此線段兩邊的距離相等。 分角線與中垂線綜合證明應用(I) 已知：L 為AB 的垂直平分線，P、Q 在L 上。 請說明：∠PAQ＝∠PBQ 《證明》在△APQ及△BPQ中， 　 　　　　因為P、Q 在AB的中垂線L 上， 　　　　所以PA =　　，QA =　　， 　　　　　 又　　　=　　　(公用邊) 　　　　∴△APQ　△BPQ（＿＿＿） 　　　　　 ?∠PAQ＝∠PBQ (對應角相等) 分角線與中垂線綜合證明應用(II) 如圖，△ABC 的面積為42平方公分，BP 為∠ABC的角平分線，且與AC 交於P，PM⊥AB，PN⊥BC；又知BC＝10公分，PM＝4公分，則AB＝？ 解：∵BP 為∠ABC的角平分線 　且PM⊥AB，PN⊥AC 　∴PN＝PM＝4 　△PBC＝　×BC × PN＝　×10×4＝20 　△ABC＝△ABP＋△PBC 　42＝△ABP＋20，△ABP＝22 　△ABP＝ ×AB × PM 　22＝　×AB ×4，AB ＝11(公分) 分角線與中垂線綜合證明應用(III) 如圖，三角形△ABC 中，L、M 分別為兩邊BC、AC 的中垂線，若L、M 交於第三邊AB 上一點O，且OC =8，∠B=35度，則： (1)AB =＿＿＿＿＿。(2)∠C=＿＿＿＿＿度。 分角線與中垂線綜合證明應用(IV) 如圖，融融想利用尺規作圖，在△ABC內找到一點P ，使得P 點到B、C 兩點等距離，且P 點到BC 、AB 也等距離，則融融可以下列哪一種方法求得？ (A)作BC 與AB 中垂線的交點 (B)作∠A 與∠B 平分線的交點 (C)作BC 中垂線與∠B 平分線的交點 (D)作∠C 的平分線與AB 中垂線的交點 等腰三角形的兩底角相等 如右圖，△ABC 為等腰三角形，其中BA =CA 。 請說明∠B =∠C。 《證明１》取BC 的中點D ，連接AD ， 　 　　　　　在△BAD 和△CAD 中， 　　　　　BA =CA，BD =CD，AD =AD， 　　　　　∴△BAD　△CAD (SSS) 　　　　　?∠B =∠C 等腰三角形的兩底角相等II 如右圖，△ABC 為等腰三角形，其中BA =CA 。